Forum de mathématiques - Bibm@th.net
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#2 10-03-2011 15:01:00
- yoshi
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Re : Un carré introuvable ?
Re,
V'la une méthode bourre hun (comme disait Jacques Dufilho), mais j'ai pô envie d'être subtil...
Soit x le nombre cherché, s'il existe.
Soit n le nombre tel que x = 700+n, 0<n<100
(pour lire la suite "cachée", sélectionnez la zone) :
[color=E1E1E1]
(700+n)² = 4900+ 1400n+n² = 100(49+14n)+n²
Il vient donc que n² devrait se terminer par 71.
Soient donc k et h les nombres entiers tels que n = 10h+k
(10h+k)²=100h+20hk+k²=10h(10+k)+k²
k doit donc être 1 ou 9.
Si k =1 alors n²=100h²+20h+1, 100, k² étant hors-jeu, 20k+1 ne peut être terminé par 71, 20 k étant pair.
Si k= 9 alors n²=100h²+180h+81, là il faut que 180h se termine par 90, donc que 18h se termine par 9, or 18h est pair...
[/color]
Je vois que je peux raccourcir ça :
Soit x le nombre cherché, s'il existe.
Soit n le nombre tel que x = 10k+n, 70<k<80
[color=E1E1E1]
2 possibilités
x²=(10k+1)² et x²=(10k+9)²
* x²=(10k+1)² =100k²+20k+1, 20k+1 ne sera jamais terminé par 71 puisque 20 k pair,
* x²=(10k+9)² = 100k²+180k+81, 180k+81 devrait se terminer par 71, donc 180 k par 90, donc 18 k par 9...
[/color]
@+
Dernière modification par yoshi (10-03-2011 15:47:48)
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#3 10-03-2011 16:24:07
- jpp
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- Messages : 1 170
Re : Un carré introuvable ?
bonjour
il existe une autre methode pour faire des multiplications un exemple
multiplicateur
7 5 1
------------------------
7 5 1 |
1 | 0 0 0 | 1
| 5 5 5 |
multiplicande 5 | 3 2 0 | 0
| 9 5 7 | on effectue les produits et on additionne dans les diagonales
7 | 4 3 0 | 0
----------------------------
produit 5 6 4
de G à D & B en H 751 X 751 = 564001
le nombre à élever au carré se temine ou par 1 ou par 9
1° IL se termine par 1 il n'y a pas de retenue et 7 ne termine aucun carré
2° IL se termine par 9 la seconde diagonale est de la forme 2n+8 ou 2n devrait etre impair.
donc impossibilité. et aucun carré d'ailleur ne fini par 71
Dernière modification par jpp (10-03-2011 16:30:08)
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#5 10-03-2011 17:03:25
- nerosson
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Re : Un carré introuvable ?
Salut à tous,
Le nombre cherché devrait se terminer par un chiffre dont le carré se terminerait par 1.
Deux chiffres répondent à cette condition : 1 et 9.
Il y a donc deux séries de dix nombres à essayer :
a) 701, 711, 721, etc...
b) 709, 719, 729, etc...
Je les ai tous essayés, aucun ne répond à la condition posée.
Dernière modification par nerosson (10-03-2011 17:07:24)
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#6 10-03-2011 17:39:02
- yoshi
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Re : Un carré introuvable ?
Re,
Oh, bin alors, si c'est comme ça, voilà :
for i in xrange(701,800):
if i**2 % 100 ==71:
resultat+=1
print i
if resultat == 0:
print "Pas de solution"
Attaque sans subtilité en "brute force"...
Et si freddy avait dit entre 700 et 80000, tu te serais appuyé tous les calculs ?
@+
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#8 10-03-2011 17:51:43
- nerosson
- Membre actif
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- Messages : 1 658
Re : Un carré introuvable ?
Salut à tous,
Non, Yoshi, je pense que je n'aurais pas su faire. Mais je te rappelle que je n'ai pas ton bagage mathématique, mais si Freddy avait dit "77" sans fixer de limite, j'aurais immédiatement répondu : non.
Dernière modification par nerosson (10-03-2011 17:57:48)
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#9 10-03-2011 18:00:57
- yoshi
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- Inscription : 20-11-2005
- Messages : 17 404
Re : Un carré introuvable ?
Re,
1. T'as trouvé la bonne réponse, parfait ! Personne n'en doutait.
2. Ta méthode est correcte, mais pourrait te mener loin.
3. A ton affirmation je réponds : bin oui, et alors ?
La question n'est pas là.
Celui qui s'est laissé prendre au cri de la carotte ;-), attendait, j'en suis sûr, une méthode qui n'obligerait personne à avaler des tonnes de calculs selon les cas : tu l'as pris à contre-pied, c'est sûr.
A raison de 20 tests par centaine, comme entre 700 et 80000, il y a 793 centaines, ça te ferait 15860 calculs de carrés.
T'es partant ?
@+
[EDIT]
Pris de vitesse...
Si, t'aurais su calculer 15860 carrés, mais ça t'aurais pris du temps !
Mon "bagage" (je m'promène sans ma valoche, hein...) ... Pffff...
Je n'ai fait qu'utiliser le développement du carré d'une somme, une identité remarquable : t'as quand même ton bac maths.
Ô fils de Néron, arrête donc de te sous-estimer : chuis sûr qu'un raisonnement arithmétique doit marcher...
Je vais essayer de m'y coller : un comble !
Dernière modification par yoshi (10-03-2011 18:03:55)
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#10 10-03-2011 19:07:30
- nerosson
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- Messages : 1 658
Re : Un carré introuvable ?
Salut à tous,
Yoshi, pose tes valises !
Après un instant de réflexion, je pense que le raisonnement que j'ai fait pour 700 à 800 (car ne t'en déplaise, il y avait au moins une part de raisonnement) est tout aussi valable pour une autre centaine. Or, entre 700 et 800.000 (avec un point, comme on m'a appris à l'école primaire), il y a un grand nombre de centaines.
Donc, je pense qu'il n'existe pas de carré se terminant par 71.
P.S. Mon bac maths, je l'ai eu en 1943 : c'est pas hier ! Et depuis, je n'ai pas fait de mathématiques (exception faite des petits problèmes de la vie courante).
Dernière modification par nerosson (10-03-2011 19:14:39)
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#11 10-03-2011 19:51:25
- yoshi
- Modo Ferox
- Inscription : 20-11-2005
- Messages : 17 404
Re : Un carré introuvable ?
Re,
Mes valises, j'peux pas les poser : j'en ai pas avec moi...
est tout aussi valable pour une autre centaine. Or, entre 700 et 800.000 (avec un point, comme on m'a appris à l'école primaire), il y a un grand nombre de centaines.
Oui, je t'ai dit : 793...
Oui (bis) pour une autre centaine :
1. Il te faudra le justifier
2. Je n'ai qu'extrapoler ta méthode : comment pouvais-je savoir que t'allais penser ? nan, nan... pas taper ! pas... Aie !). Bon, en fait, j'ai bien fait de t'aiguillonner.
Je réfléchis au moyen arithmétique... A la louche comme ça, je durai que terminaison 1 ne doit pas causer beaucoup d'embarras, 9 doit demander plus de réflexion.
Doit y avoir une sombre histoire de retenue...
Mais assez pour ce soir ! Parce que je vais finir par sortir des bourdes, et le sieur nerosson serait bien trop content...
Hey grand homme, les maths, c'est comme la bicyclette, il en reste toujours quelque chose.
Je suis bien sûr que le niveau du Bac Maths 1943 ne souffrirait pas de la comparaison avec celui de 1966 (le mien).
@+
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#12 10-03-2011 22:16:59
- EtienneA
- Invité
Re : Un carré introuvable ?
Une preuve arithmétique : Un carré est congru à 0 ou 1 modulo 4 (ie il s'écrit 4k ou 4k+1). En effet un nombre pair (2n) au carré vaut 4n², un impair (2n+1) au carré vaut 4n²+4n+1=4(n²+n)+1. Or 100 est un multiple de 4 et 71 n'est pas congru à 1 modulo 4 (mais à 3 modulo 4). Donc tout nombre finissant par 71 n'est pas un carré.
#14 11-03-2011 10:26:58
- yoshi
- Modo Ferox
- Inscription : 20-11-2005
- Messages : 17 404
Re : Un carré introuvable ?
Re,
A la Guech Patti :
Etienne, Etienne,
Oh bien tu l'as fait
Bravo, j'ai bien pensé qu'il y avait un moyen avec les congruences, mais je n'avais pas eu l'envie de chercher. Bravo !
C'est p'tet un langage qui va heurter nerosson...
Donc, j'essaie comme ça :
Soient a et b les deux derniers chiffres du nombre dont on veut calculer le carré.
On a déjà vu que b est égal à 1 ou 9.
Posons la multiplication :
x . . . a 1 x . . . a 9
1 x 1 = 1 pas de retenue.
La suite sera a x 1 + 1 x a, donc 2a. Pair en aucun cas terminé par 7.
9 x 9 = 81... Il y a 8 de retenue la suite est donc 18 a + 8 = 2(9a+4) pair qui ne se termine en aucun cas par 7...
Ça te va nerossounet ?
@+
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#15 11-03-2011 10:53:17
- freddy
- Membre chevronné
- Lieu : Paris
- Inscription : 27-03-2009
- Messages : 7 457
Re : Un carré introuvable ?
Re,
j'avais fait un peu comme yoshi et neron.
Je prends un nombre qui s'écrit en base 10 : [tex]a\times 100+b\times 10+c[/tex] avec a > 0, et je l'élève au carré.
On a [tex]a^2\times 10^4+b^2\times 10^2+c^2 + 2ab\times 10^3+2ac\times 10^2+2bc\times 10[/tex]
La contrainte s'écrit [tex]2bc\times 10+c^2=7\times 10+1[/tex]
Donc soit c= 1 mais 7 n'est pas divisible par 2, donc impossible.
Soit c = 9, et on a [tex]2\times 9\times b + 8=7[/tex], qui n'admet non plus aucune solution.
Arrosoir et persil.
Dernière modification par freddy (11-03-2011 10:54:24)
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#16 11-03-2011 17:34:41
- nerosson
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Re : Un carré introuvable ?
Salut à tous,
Extension de la question de Freddy :
Quelqu'un pourrait-il me trouver un nombre quelconque dont le carré se termine autrement que par l'un des nombres suivants :
00 – 01 – 04 – 09 – 16
21 – 24 – 25 – 29 – 36
41 – 44 – 49 – 56 – 61
64 – 69 – 76 – 81 – 84
89 – 96
Conjecture : En tant que fins de carrés, tous ces nombres sont équiprobables, sauf 00 et 25 dont la probabilité est deux fois et demi plus grande.
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#18 11-03-2011 18:28:14
- nerosson
- Membre actif
- Inscription : 21-03-2009
- Messages : 1 658
Re : Un carré introuvable ?
Salut, Freddy,
Je ne sais pas s'il y a des noeuds sur les voiliers. Etant donné que tu n'es pas marin, on peut se poser la question...
Quant à "poser la question, c'est y répondre", c'est encore une formulation qui est claire comme du jus de boudin, mais je pense que ça n'est pas ça du tout :
J'ai été un peu surpris de voir qu'il n'y avait qu'un nombre ,assez réduit de fins de carrés, et j'ai posé la question pour savoir si je ne me trompais pas, sachant bien que si j'avais dit une bourde, Yoshi allait me sauter dessus comme... disons comme un canard sur un hanneton (la première expression qui m'était venue à l'esprit risquait d'être censurée).
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#19 24-03-2011 20:42:48
- augustin
- Invité
Re : Un carré introuvable ?
Bonsoir,
je relis ce post et vois que 71 est bien un carré.
Mais peut-être d'une façon non acceptable ? Changeons donc de base :
En base 9, 71 est le carré de 8
En base 32, 71 est le carré de l'équivalent de 15 en base 10...etc