Triangle ayant un angle de 30°

gprbx · 07-01-2011 21:43:30

Bonsoir,

Peut-on prouver la conjecture suivante : Si un triangle a un de ses angles internes égal à 30° (soit [tex] \frac{\pi}{6}[/tex] ) , alors les longueurs de ses trois cotés ne peuvent toutes être des nombres entiers.

A+

Golgup · 07-01-2011 22:00:58

Bonjour,

D'ou sors-tu ça?

++

thadrien · 07-01-2011 23:13:16

Bonsoir,

C'est facilement démontrable par l'absurde.

Supposons que a, b et c soient tous trois entiers.
Alors, d'après le théorème d'Al-Kashi : [tex]a^2 = b^2 + c^2 - 2 b c cos(\frac{\pi}{6})[/tex].
En remplaçant [tex]cos(\frac{\pi}{6})[/tex] par sa valeur et après quelques manipulations :
[tex]\frac{- a^2 + b^2 + c^2}{b c} = \sqrt{3}[/tex]
Le terme à gauche de l'égalité est rationnel, le terme à droite ne l'est pas. Contradiction.
Par l'absurde, a, b et c ne peuvent pas être tous trois entiers.

A+
Hadrien

yoshi · 08-01-2011 08:34:02

Re,

Grillé !
Pas mieux...
C'est ce que je m'apprêtais à écrire.
En effet la mention [tex]\frac \pi 6[/tex] m'a tout de suite conduit à [tex]\cos\left(\frac \pi 6\right)=\frac{\sqrt 3}{2}[/tex].
Et, de là au théorème d'Al Kashi, il n'y avait plus qu'un petit pas...

@+

freddy · 08-01-2011 10:12:57

Salut,

si je relis la conjecture, elle énonce " ... ne peuvent pas être toutes des nombres entiers".

J'entends : " ... les trois en même temps". Du coup, si je comprends bien, elle serait démontrée.

Votre avis ?

gprbx · 08-01-2011 10:35:34

Bonjour,

Cela sort de l'énigme précédente : "à l'intérieur d'un triangle équilatéral..." pour laquelle il y a eu 6 pages de discussions.
En particulier, si on trouvait un point, il y en avait 6 par symétries. Sauf si ce point trouvé se situait sur un des axes de symétrie, ce que j'avais montré impossible et dont il avait été dit (19/12/2010) "Je vais étudier ton truc."

Mon truc ayant été démontré assez lourdement (j'étais dans les aires et dans l'élimination des racines carrées), il me paraissait juste de voir publier une démonstration plus élégante qui m'étais apparue depuis. Ce qui est donc fait.

J'ai suivi avec attention, en amateur, les discussions sur Pythagore dans le Café Mathématiques. Je rouvrirai une discussion, mais plus tard, et j'espère calmement, sur comment les limites imposées dans les programmes favorisent ou freinent le développement de l'esprit logique chez les jeunes. J'espère que ce ne sera pas un sujet tabou.

A+, cordialement : gprbx

gprbx · 08-01-2011 10:41:32

re,

On peut même généraliser : "...ne pauvent pas être toutes des nombres rationnels"

A+

yoshi · 08-01-2011 13:45:14

Re,

je rouvrirai une discussion, mais plus tard, et j'espère calmement, sur comment les limites imposées dans les programmes favorisent ou freinent le développement de l'esprit logique chez les jeunes. J'espère que ce ne sera pas un sujet tabou.

.
Volontiers, il y a à dire...
Tu donneras, et d'autres aussi j'espère, un point de vue extérieur, moi j'apporterai le point de vue de l'Intérieur sur les contraintes fonction de "notre" public, ce que j'ai ressenti en bien ou mal : je suis libéré maintenant de mon "devoir de réserve".
Sans tabou, oui, sauf s'il s'agissait (ce qu'à dieu ne plaise !) de hurler avec les loups sur les profs qui foutent rien...

@+

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 07-01-2011 21:43:30

Triangle ayant un angle de 30°

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#6 08-01-2011 10:35:34

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#7 08-01-2011 10:41:32

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#8 08-01-2011 13:45:14

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