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Mathatus

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Les fonctions r¨¦ciproques s'invitent

Bonjour a tous!

Je me suis intriguee sur un phenomene qui m'a saute  a la vue de deux fonctions: la fonction exponentielle et la fonction logarithme neperien.
Je me suis penchee dessus et ai reussi a degager (peut-etre) certaines "proprietes".
Il parait que l'on appelle ce ph¨¦nom¨¨ne des fonctions r¨¦ciproques.

Voila:
g rond f = f rong g = x

Si f est definie sur Df, alors g sera define au "maximun?" sur Df.

Si f(x) = ax+b, alors g(x)=(1/a)x-(b/a)
(Car si une fonction s'annule en un point, sa r¨¦ciproque aura l'ordonnee a l'origine dont la valeur en ordonnee sera l'abscisse de ce point)

Si f(x)=x^n , alors g(x)=[tex]\sqrt[n]{x}[/tex]

Les derivees de deux fonctions reciproqes ont le meme signe.

Toute fonction admet une reciproque

Voil¨¤ ce que j'ai reussi a degager (peut etre que c'est faux, je n'en sais rien, je n'arrive pas a les demontrer)
Pourriez-vous m'eclairer sur la reciprocite des fonctions polynomes? et des fonctions rationelles?
Quelle valeur prendre pour la constante de  la fonction reciproque si la fonction "d'origine" s'annule plusieurs fois?

Excusez mon language mathematique approximatif,
Merci beaucoup
Mathatus

Dernière modification par Mathatus (17-11-2010 10:22:52)

marin marais

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Re : Les fonctions r¨¦ciproques s'invitent

Bonjour,

Je ne suis malheureusement pas très doué en mathématiques, mais je me permets d'émettre quelques réserves.

Par exemple la fonction [tex]f(x)=x^2[/tex] qui est définie de [tex]\mathbb{R}[/tex] dans [tex]\mathbb{R}_+[/tex]. Cette fonction ainsi définie n'est pas bijective. 4 a deux antécédents, 2 et -2.

Je dirais que si f est une fonction bijective définie de l'intervalle A vers l'intervalle B, alors il existe une fonction g définie de B vers A telle que :
[tex]\forall x\in A,\;(g o f)(x)=x[/tex]

Cela étant, je répète que je ne suis pas une lumière en ce domaine...
Thomas.

Dernière modification par marin marais (17-11-2010 11:06:18)

Mathatus

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Re : Les fonctions r¨¦ciproques s'invitent

Bonjour,
Merci pour ta réponse, cela confirme bien ce que je voyais nébuleusement.

Mathatus