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freddy

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Exo algèbre bac 1971 Limoges [Résolu]

Hello bellissima,

Dans l’ensemble N des entiers naturels, on considère la loi de composition notée [tex]\star[/tex], telle que :

[tex]\forall (a, b) \in \N^2,\; a \star b = a + b + a × b[/tex]

Les signes + et × désignent respectivement l’addition et la multiplication usuelles dans N.

1◦ Montrer que c’est une loi interne dans N, commutative et associative. Admet-elle un élément neutre ?

2◦ On définit [tex]a^n[/tex] pour n > 1 par

[tex]a^1 = a\;\text{et}\; a^n = a^{n-1} \star a^1[/tex].

Exprimer [tex]a^2\,\; a^3\; \text{et}\; a^4[/tex] en fonction de a, et en déduire l’expression générale de [tex]a^n[/tex] en fonction de a et de n.

On you !

Gustave

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Re : Exo algèbre bac 1971 Limoges [Résolu]

Bonjour,
on va dire que je chipote mais ne vaut-il mieux pas noter les itérée par [tex]a^{\star n}[/tex]? Un argument pour justifier cela est que [tex]a^{\star n}[/tex] s'écrit à l'aide des puissances usuelles de [tex]a[/tex] (ou d'un truc qui a à voir avec [tex]a[/tex], j'essaie de préserver le suspense autant que possible), donc il y a un risque d'amalgame.

Dernière modification par Gustave (16-06-2010 12:12:45)

freddy

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Re : Exo algèbre bac 1971 Limoges [Résolu]

Salut Gustave,

d'après toi, ça apporterait quoi le notation que tu proposes ?

L'algèbre est précisement l'art de raisonner de manière abstraite, en donnant aux notations le sens que les définitions leur donnent, ni plus, ni moins.

Par contre, aurais tu su faire cet exo de bac série C posé en juin 1971 dans l'Académie de Limoges ? C'est de saison non !

NB : en général, les exo étaient notés 4/20 et le problème 12/20.

BB

Gustave

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Re : Exo algèbre bac 1971 Limoges [Résolu]

J'ai trouvé que [tex]a^{\star n} =\left(a+1\right)^n-1[/tex], et j'avais peur que l'on confonde avec les puissances classiques. Ici, la notation puissance [tex]{}^n[/tex] ne signifierait pas la même chose des deux côtés de l'égalité.

Dernière modification par Gustave (16-06-2010 13:26:34)

freddy

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Re : Exo algèbre bac 1971 Limoges [Résolu]

Re,

et les autres questions ?

Gustave

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Re : Exo algèbre bac 1971 Limoges [Résolu]

1. Le fait que la loi soit interne découle du fait que la somme et le produit de deux entiers naturels est un entier naturel.
La commutativité découle de celle de l'addition et du produit usuel.
Concernant l'associativité, on a pour [tex]a,b,c\in \mathbb N[/tex] :
[tex]a\star\left(b\star c\right) =a\star\left(b+c+b\times c\right) = a+b+c+b\times c +a\times b +a\times c +a\times b\times c[/tex] et
[tex]\left(a\star b\right)\star c = \left(a+b+a\times b\right)\star c =a+b+c+a\times b + c\times a+c\times b+c\times a\times b[/tex], la commutativité de l'addition et de la multiplication assure l'associativité.

On cherche [tex]e[/tex] tel que pour tout [tex]a\in \mathbb N ,\, a\star e =a[/tex].
Or [tex]a\star e =a[/tex] impose que [tex]e\left(a+1\right) =0[/tex] donc [tex]e=0[/tex]. On vérifie ensuite que pour tout [tex]a\in\mathbb N[/tex] on a [tex]a\star 0 =a[/tex]. 

2. On a [tex]a^{\star 2} = a+a+a^2 =\left(a+1\right)^2-1[/tex] puis [tex]a^{\star 3} = a+\left(a+1\right)^2-1 +a\left(\left(a+1\right)^2-1\right)=\left(a+1\right)\left(a+1\right)^2-1 =\left(a+1\right)^3 -1[/tex]  et
[tex]a^{\star 4} = a+\left(a+1\right)^3 -1+a\left(\left(a+1\right)^3 -1\right) = \left(a+1\right)^4[/tex].

On montre par récurrence que pour tout entier [tex]n[/tex] on a [tex]a^{\star n} =\left(a+1\right)^n-1[/tex];

On a [tex]\left(a+1\right)^1-1 =a =a^{\star 1}[/tex] et si la propriété est vrai à un certain rang [tex]n[/tex] alors on a [tex]a^{\star \left(n+1\right)} =a+\left(a+1\right)^n-1+a\left(\left(a+1\right)^n-1\right) = a+\left(a+1\right)^n-1+a\left(a+1\right)^n-a=\left(a+1\right)^{n+1}-1[/tex].

freddy

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Re : Exo algèbre bac 1971 Limoges [Résolu]

TB !!!

Et les autres sujets ?

Gustave

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Re : Exo algèbre bac 1971 Limoges [Résolu]

Je peux donc repasser le bac!
Je trouve ça intéressant de faire de l'algèbre au lycée. Je n'en ai pas eu l'occasion, mais maintenant que je suis à la fac je me rattrape.

freddy

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Re : Exo algèbre bac 1971 Limoges [Résolu]

Salut,

il n'y a pas d'âge pour faire des choses intéressantes !

Allez, tente les autres sujets, "pour l'honneur de l'esprit humain" !