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Vertforever

Invité

Un exercice de l'X

Bonjour à tous,
Je suis bloqué dans un exercice de l'X en voici l'énoncé:
K un corps et n>1
a)Soient A et B dans Mn,1(K). Majorer rg(AtB) et rg(AtB+BtA).
b)Caractériser les matrices M de Mn(K) qui s'écrivent M=AtB+BtA avec A et B dans Mn,1(K)
Pour la première question les colonnes de AtB sont les (bi A) donc sont liées donc rg(AtB)<2 et les colonnes de AtB+BtA sont (aiB+biA) donc forment un ev de dim au plus 2 donc rg(AtB+BtA)<3.
Pour la question b), j'avais pensé montrer que les matrice cherchées sont les matrices symétriques de rang<3, un sens est clair avec a) pour l'autre :
pour les matrices de rg 0 c'est clair!
pour les matrices de rang 1 et symétrique : elles s'écrivent XtY avec X et Y non nulles et avec YtX=XtY (matrice symétrique) donc aussi AtB+BtA avec A=X/2 et B=Y
pour les matrices de rang 2 et symétrique :
toute matrice de rang 2 s'écrit XtY+ZtT avec (X,Z) et (Y,T) libres (ce résultat se généralise à un rg qcq)
Avec la symétrie, on déduit XtY+ZtT=YtX+TtZ ou yiX+tiZ=xiY+ziT mais je n'arrive pas à l'écrire sous la forme AtB+BtA.
Merci d'avance pour votre aide.

Fred

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Re : Un exercice de l'X

Salut,

  As-tu été faire un tour dans la base de données d'exercices de concours du site. L'exercice 17 de la feuille consacrée aux annales du concours "Mines-Pont" devrait te donner la réponse.

Fred.

Vertforever

Invité

Re : Un exercice de l'X

Je viens de voir l'exercice dont tu parles mais il ne résout pas mon problème, dans mon exercice il y a la notion de symétrie (j'utilise d'ailleurs cet exercice pour esssayer de démarrer la question qui me pose problème)
Philippe.