Forum de mathématiques - Bibm@th.net

franklino

Membre

Inscription : 26-01-2010

Messages : 86

un peu de geometrie

Décrivez le chemin à suivre pour :
Construire le centre d’un cercle donné à l’aide d’une équerre uniquement
Construire un triangle isocèle et un triangle équilatéral à l’aide d’une équerre graduée uniquement
Construire un angle β à l’aide d’une règle graduée uniquement
Construire le milieu d’un segment donné à l’aide d’un compas uniquement

nerosson

Membre actif

Inscription : 21-03-2009

Messages : 1 658

Re : un peu de geometrie

Salut, Franklino,
Premier problème.
Je trace une tangente au cercle (une équerre, c'est aussi une règle)
Au point de tangence, je trace un angle droit qui me donne un diamètre.
Je refais la même opération en un autre point du cercle : j'ai alors un deuxième diamètre.
L'intersection des deux diamètres me donne le centre.
Ca me parait trop simple : je vais sûrement me faire renvoyer dans les cordes.

Deuxième problème.
Je pense qu'avec une équerre graduée, on peut mesurer des longueurs ?
Je trace un segment AB de longueur quelconque. En B je trace une perpendiculaire, sur laquelle je mesure, de part et d'autre du point B des segments égaux BC et BD. Je joins A à C et à D. Le triangle ACD est isocèle ?

Dernier problème : tu n'autorise pas la règle ?

thadrien

Membre

Lieu : Grenoble

Inscription : 18-06-2009

Messages : 526

Site Web

Re : un peu de geometrie

Salut,

Troisième problème : tu traces avec ton équerre un triangle rectangle de côté 1 et la tangente de ton angle.

Quatrième problème : tu traces deux cercles assez grands ayant pour centres les extrémités de ton segment. Ils se croiseront en deux points. Tu trace la médiatrice, qui passe par ces deux points. Elle coupe le segment de départ en son milieu.

nerosson

Membre actif

Inscription : 21-03-2009

Messages : 1 658

Re : un peu de geometrie

Salut, Thadrien,
Pour le quatrième problème, tu utilises la règle pour tracer la médiatrice.
C'est la raison pour laquelle je demandais à Franklino s'il autorisait la règle pour ce quatrième problème.

D'autre part, pour le troisième problème, tu ne dispose pas d'une équerre, mais seulement d'une règle graduée.

Dernière modification par nerosson (16-04-2010 16:12:31)

nerosson

Membre actif

Inscription : 21-03-2009

Messages : 1 658

Re : un peu de geometrie

Salut, Franklino,
Comme je le disais plus haut, ce qui rend ton quatrième problème difficile, c'est que, semble-t-il, tu n'autorise pas la règle.
Je te propose cependant une solution un peu "capillotractée" (comme dirait la fille de Yoshi).
Au début je reprends les deux arcs de cercle de Thadrien qui se coupent en C et D (le segment est le segment AB).
Comme je n'ai pas de règle, je ne peux pas tracer la médiatrice.
Alors, je trace un arc de cercle de centre C (ou D) tangent au segment AB. Le point de tangence est le milieu du segment AB

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : un peu de geometrie

Salut,

construire le milieu d'un segment avec un compas est un truc de classe de cm2 (septième) : pointe sèche sur l'un des côtés, tracer deux arc de cercle vers le milieu ... Puis on change d'extrémité, on garde le rayon, on retrace deux arcs de cercles de chaque côté.

Aux deux points d'intersection, on fait passer une droite qui est la médiatrice du segment !

nerosson

Membre actif

Inscription : 21-03-2009

Messages : 1 658

Re : un peu de geometrie

Salut, Freddy,
Tout le monde connait cette méthode. Mais je te le dis comme je l'ai dit à Thadrien : tu n'as pas de règle pour tracer ta médiatrice

franklino

Membre

Inscription : 26-01-2010

Messages : 86

Re : un peu de geometrie

slt nerosson
pr le premier pb, cment peux tu construire la tangente a un cercle sans connaitre son centre,alors que celui ci est tjrs perpendiculaire au rayon.qui dit tangente,dit angle droit,or chez toi,tu trace ''la tangente'' avant de construire l'angle droit( absurde).

pour le deuxieme pb, le triangle ACD est bien isocèle,ton chemin est acceptable car j'aurai aimé que tu construise le triangle ABC.

pr le dernier pb, ne pas utiliser la regle, uniquement avec le compas

slt thadrien
l'angle en question est connue,et donc je ne pense pas que ton chemin soit bon
verifie qu'en empruntant ton chemin pour tout angle donné,l'on reussisse a le construire et tu verras que j'ai raison.déjà même, tu as utilisé l'equerre comme a dit nerosson, et pourtant il faut se servir d'une regle graduée.

nerosson

Membre actif

Inscription : 21-03-2009

Messages : 1 658

Re : un peu de geometrie

Salut, Franklino,

Je fais quelques réserves sur ton affirmation qu'on ne peut pas tracer une tangente sans connaître le centre. Mais tu es sûrement plus compétent que moi, alors je n'insiste pas et je te propose une autre méthode que tu vas sans doute abattre en flammes aussi.

Je trace une sécante AB au cercle. En A, je trace une autre sécante AC à angle droit avec AB. BC est un diamètre du cercle.

Je refais la même opération pour avoir un autre diamètre.

Le centre se situe à l'intersection des deux diamètres.

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 385

Re : un peu de geometrie

Hey Franklino,

Ton clavier est en panne ? Tu n'as plus accès aux caractères accentués ? Il te refuse certaines associations de lettres que tu en sois réduit à taper slt, cmt, pr ?

J'avoue que ça commence à m'agacer.
Tu gagnes quoi 20 lettres dans un post ?
Brillant résultat : à 3 lettres par seconde : 7 secondes ! Wouah... quel bénéfice substantiel !!!

@+

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : un peu de geometrie

Re,

moi, la seule droite que je sais tracer avec un compas est celle, imaginaire, qui permet d'aller et de venir sur le trottoir du boulevard de la Madeleine (75001), avec les jambes des femmes en forme de compas ...(cf "l'homme qui aimait les femmes" avec Charles Denner !).

Oui, je sais, je sors là ------>

franklino

Membre

Inscription : 26-01-2010

Messages : 86

Re : un peu de geometrie

Retrouvons le centre d’un cercle :
Construisons deux triangles équilatéraux inscrits dans ce cercle
Alors, le point de rencontre des deux hypoténuses est sans doute notre centre du cercle car, nous savons que tout triangle rectangle inscrit dans un cercle voit son hypoténuse se confondre au diamètre du cercle.

    Construisons un angle β
•    Traçons un repère (O, ,   )
•    Plaçons dans ce repère le point A (cosβ, sinβ)
•    Traçons le vecteur , et donc notre angle est la mesure de l’angle ( , )

    Construisons le milieu d’un segment donné
Soit un segment [AB] de longueur a dont on veut trouver le milieu I à l’aide du compas uniquement
On procédera comme suit :
•    Tout d’abord, construisons le point C, symétrique de A par rapport à B de la manière suivante :
1.    Traçons le cercle © de centre B passant par A, i.e. de rayon r=a
2.    Traçons des petits arcs de cercle coupant le cercle © en sachant que ces points d’intersection sont les sommets d’un hexagone régulier ayant pour premier sommet, le point A.
3.    Plaçons notre point C à la quatrième intersection comptée à partir de A.
•    Ensuite, traçons le cercle (C1) de centre A, passant par B (et donc de rayon r1=a) ; et le cercle (C2) de centre C, passant par A (et donc de rayon r2=CA=CB+BA=2a). Ces cercles se coupent en deux points P et Q. il est clair que l’on a
AP=AQ=r1=a et CP=CQ=r2=2a
•    Enfin, traçons le cercle (Γ1) de centre P, passant par A (et donc de rayon r3=AP=a) et le cercle (Γ2) de centre Q, passant par A (et donc de rayon r4=AQ=a). alors, ces deux cercles se coupent bien sûr en A et en autre point que nous appellerons I ; il est évident que IP=IQ=a. nous sommes certain, pour des raisons de symétries que I Є [AB] et est milieu de ce dernier. Nous aurons ainsi construit le milieu du segment. Permettez-moi de vous laisser un peu spéculer sur le pourquoi, nous sommes sûrs que I soit le milieu recherché.

nerosson

Membre actif

Inscription : 21-03-2009

Messages : 1 658

Re : un peu de geometrie

Salut, Franklino,

Je t'ai proposé deux solutions pour trouver le centre d'un cercle.

Je cite "Je trace une tangente au cercle (une équerre, c'est aussi une règle)
Au point de tangence, je trace un angle droit qui me donne un diamètre.
Je refais la même opération en un autre point du cercle : j'ai alors un deuxième diamètre.
L'intersection des deux diamètres me donne le centre.

Tu l'as rejetée : je veux bien m'incliner.

Mais je t'en ai donné ensuite une autre.

Je cite "Je trace une sécante AB au cercle. En A, je trace une autre sécante AC à angle droit avec AB. BC est un diamètre du cercle.
Je refais la même opération pour avoir un autre diamètre.
Le centre se situe à l'intersection des deux diamètres.

Or, c'est celle-ci que tu reprends à ton compte aujourd'hui (17:38:50) en écrivant d'ailleurs "deux triangles équilatéraux" au lieu de "deux triangles rectangles"

Rendons à Nérosson ce qui est à Nérosson. Il n'est déjà pas si riche.

Dernière modification par nerosson (30-04-2010 17:41:22)

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 385

Re : un peu de geometrie

RE,

1. Exact, nerosson marque un point.
2. Il faut se souvenir du théorème : la hauteur relative à la base d'un triangle isocèle est aussi la médiatrice et la médiane et la bissectrice de l'angle au sommet. Je n'aime pas ces constructions, parce que l'équerre graduée est un instrument imparfait et on aura des triangles approximativement isocèles et équilatéraux.
3.   

Construisons un angle β
•    Traçons un repère (O, ,   )
•    Plaçons dans ce repère le point A (cosβ, sinβ)
•    Traçons le vecteur , et donc notre angle est la mesure de l’angle ( , )

Objection, votre honneur, construction impossible avec seulement une règle graduée : d'où vas-tu sortir les valeurs de cosβ, sinβ ?
En effet :
a) Tu devras préalablement te servir, soit -à l'ancienne- de tables trigonométriques, soit d'une calculette réelle ou virtuelle (sur ordinateur)
b) Non tu n'auras pas un angle de même mesure que l'angle β, mais un angle de valeur proche.

4. Brillant !

@+

franklino

Membre

Inscription : 26-01-2010

Messages : 86

Re : un peu de geometrie

Salut à vous
Je commencerais par m’excuser pour avoir dû utiliser une calculatrice scientifique, bien que celle-ci n’avait pas été mentionnée dans l’exercice.

Je dois avouer ensuite, comme l’a dit Yoshi, qu’en procédant comme je l’ai fait pour la construction, je ne pourrai que représenter une valeur approchée de l’angle en question.et du coup, une question me vient à l’esprit à savoir : Pour un quelconque problème de tracés, peut-on réaliser une construction exacte, étant donné les incertitudes présentes sur nos instruments, et même sur notre vision ? Pour ma part, je dirais non, et je crois que c’est d’ailleurs pour cette raison, que nous devrions toujours accompagner nos figures d’un petit commentaire.