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D'giu

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p divise 2^p-2 [Résolu]

Bonjour,

je n'arrive pas à montrer que p (un entier premier) divise [tex]{2}^{p}-\,2[/tex] , c'est l'amorce du petit Théorème de Fermat.

Merci d'avance pour votre aide.

Dernière modification par D'giu (14-03-2010 20:35:17)

Fred

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Re : p divise 2^p-2 [Résolu]

Bonsoir,

  Voici une petite démonstration à l'aide de la formule du binôme de Newton :

Etape 1 :
  Pour [tex]1\leq k\leq p-1[/tex], alors [tex]p|\binom{p}{k}[/tex]
C'est facile en revenant à la définition du coefficient binomial et en utilisant le lemme de Gauss.

Etape 2 :
On a
[tex]2^p = (1+1)^p =1+1+\sum_{k=1}^{p-1}\binom{p}{k}[/tex]
Comme p divise chaque terme de la grosse somme, p divise [tex]2^p-2[/tex].

Par récurrence, on pourrait démontrer le résultat pour tout entier a.

Fred.