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yoshi

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Trigo : formule à base de sin² par mathforever [Résolu]

Bonjour,

j'ai une démonstration a faire pour mon cours de math, ça serai sympa si quelqu'un pourrait m'aider.

Si a, b et c sont des angles d'un triangle alors

Sin²a + sin²b + cos²c -1 = 2 sina sinb cosc

Merci.

yoshi

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Re : Trigo : formule à base de sin² par mathforever [Résolu]

Salut mathforever,

Pour la lisibilité et le suivi des messages, une règle d'or :
un sujet = une discussion.
Sinon à quoi servirait la mention (en haut et à droite de la page) Nouvelle discussion ?
Et maintenant, voilà ce que je suis obligé de faire...

A cause de ça tu as bien failli devenir mathforNever et ton sujet passer à l'as : le sujet de krist dans lequel tu t'es incrusté en cliquant sur Ecrire une réponse avec un sujet qui n'avait à voir que d'être de la trigo, était clos, résolu !
La prochaine fois, penses-y !

Bon, ton truc m'a fait beaucoup transpirer... J'ai étudié au moins 2 fausses pistes, avant de me rendre à l'évidence que ça ne marcherait pas.
Quand, hier soir, dans mon lit, "à l'aveugle" comme on dit aux Echecs, l'illumination est venue et je l'ai fait de tête...
Donc voilà.
D'abord quelques égalité liminaires...
* [tex]\hat{c}=\pi-(\hat{a}+\hat{b}) \Rightarrow \sin(\hat{c})=\sin(\pi-(\hat{a}+\hat{b}))=\sin(\hat{a}+\hat{b})[/tex] (1)
* [tex]\hat{c}=\pi-(\hat{a}+\hat{b}) \Rightarrow \cos(\hat{c})=\cos(\pi-(\hat{a}+\hat{b}))=-\cos(\hat{a}+\hat{b})[/tex] (2)
* [tex]\cos^2(\hat{c})-1= -\sin^2(\hat{c})[/tex] (3)
* [tex]\sin(\hat{a}+\hat{b})=\sin(\hat{a})\cos(\hat{b})+\sin(\hat{b)}\cos(\hat{a})[/tex] (4)
* [tex]\cos(\hat{a}+\hat{b})=\cos(\hat{a})\cos(\hat{b})-\sin(\hat{a})\sin(\hat{b})[/tex] (5)

Je rentre dans le vif du sujet et je m'en vais donc virer le c pour mieux le faire réapparaître après (c'était ça qui était subtil).
[tex]\sin^2(\hat{a})+\sin^2(\hat{b})+\cos^2(\hat{c})-1 = \sin^2(\hat{a})+\sin^2(\hat{b})-\sin^2(\hat{c})[/tex]
D'après (1) :
[tex]\sin^2(\hat{a})+\sin^2(\hat{b})-\sin^2(\hat{c})=\sin^2(\hat{a})+\sin^2(\hat{b})-\sin^2(\hat{a}+\hat{b})[/tex]

D'après (4) :
[tex]\sin^2(\hat{a})+\sin^2(\hat{b})-\sin^2(\hat{a}+\hat{b})=\sin^2(\hat{a})+\sin^2(\hat{b})-[\sin(\hat{a})\cos(\hat{b})+\sin(\hat{b})\cos(\hat{a})]^2[/tex]

[tex]\sin^2(\hat{a})+\sin^2(\hat{b})-\sin^2(\hat{a}+\hat{b})=\sin^2(\hat{a})+\sin^2(\hat{b})-\sin^2(\hat{a})\cos^2(\hat{b})+\sin^2(\hat{b})\cos^2(\hat{a})+2\sin(\hat{a})\sin(\hat{b})\cos(\hat{a})\cos(\hat{b})[/tex]

[tex]\sin^2(\hat{a})+\sin^2(\hat{b})-\sin^2(\hat{a}+\hat{b})=\sin^2(\hat{a})+\sin^2(\hat{b})-\sin^2(\hat{a})\cos^2(\hat{b})-\sin^2(\hat{b})\cos^2(\hat a)-2\sin(\hat a)\sin(\hat b)\cos(\hat a)\cos(\hat b)[/tex]

Je factorise en 2 fois :
[tex]\sin^2(\hat{a})+\sin^2(\hat{b})-\sin^2(\hat{a}+\hat{b})=\sin^2(\hat a)[1-\cos^2(\hat b)]+\sin^2(\hat b)[1-\cos^2(\hat a)]-2\sin(\hat a)\sin(\hat b)\cos(\hat a)\cos(\hat b)[/tex]

Je remplace le contenu des crochets par sin² :
[tex]\sin^2(\hat{a})+\sin^2(\hat{b})-\sin^2(\hat{a}+\hat{b})=\sin^2(\hat a)\sin^2(\hat b)+\sin^2(\hat b)\sin^2(\hat a)-2\sin(\hat a)\sin(\hat b)\cos(\hat a)\cos(\hat b)[/tex]

Je réduis :
[tex]\sin^2(\hat{a})+\sin^2(\hat{b})-\sin^2(\hat{a}+\hat{b})=2\sin^2(\hat a)\sin^2(\hat b)-2\sin(\hat a)\sin(\hat b)\cos(\hat a)\cos(\hat b)[/tex]

Nouvelle factorisation :
[tex]\sin^2(\hat{a})+\sin^2(\hat{b})-\sin^2(\hat{a}+\hat{b})=2\sin(\hat a)\sin(\hat b)\,[\sin(\hat a)\sin(\hat b)-\cos(\hat a)\cos(\hat b)][/tex]

Et maintenant d'après (4) et (2)
[tex]\sin^2(\hat{a})+\sin^2(\hat{b})-\sin^2(\hat{a}+\hat{b})=2\sin(\hat a)\sin(\hat b)\,[-\cos(\hat a +\hat b)]=2\sin(\hat a)\sin(\hat b)\cos(\hat c)[/tex]

Si quelqu'un peut faire mieux, je suis preneur...

@+

yoshi

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Re : Trigo : formule à base de sin² par mathforever [Résolu]

RE,

Alors, personne n'a d'autre méthode que cette méthode "bourrin" ?

Dommage...

@+

freddy

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Re : Trigo : formule à base de sin² par mathforever [Résolu]

Salut yoshi,

je n'ai pas trouvé mieux, je pense que c'était le but de l'exo que de faire de si longues manipulations.

Je me souviens l'avoir fait il y a très, très longtemps. Tout le truc repose sur les formules que tu rappelles et le fait que la somme des trois angles du triangle est égale à un pi.

Dernière modification par freddy (01-02-2010 11:21:31)