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Marcel

Invité

Démonstration erronée

Bonjour
J'ai découvert ce site récemment et le trouve excellent. Félicitations.

On m'a soumis récemment la fausse démonstration suivante. Le but est de trouver la faille, car le résultat est évidemment faux. Après avoir cherché quelque temps, je jette l'éponge. Ceci dit la formulation initiale est tellement floue qu'il est aussi difficile d'y voir une preuve que d'y trouver une faille de démonstration. Quoi qu'il en soit je suis persuadé que derrière se cache une vraie subtilité qui m'échappe. Je fais donc appel à votre sagacité.

On considère la suite de fonctions "en escalier" suivante, définies sur [0;1], pour n >=1:
pour i dans [0;n-1] : f(n)(x) = i/n si x est dans [i/n; (i+1)/n[
et f(n)(1) = (n-1)/n.

On s'intéresse à la longueur l(n) de la suite de segments dessinés entre 0 et 1 par l'escalier d'indice n  (y compris les segments verticaux, incluant le dernier, entre (1, (n-1)/n) et (1, 1).
Pour chaque n>=1, il est facile de vérifier que l(n) = somme(0 <= i <= n-1, 1/n) + somme(1<= j <= n, 1/n) = 1 + 1 = 2.

Les f(n) sont continues par morceaux sur [0;1].
On est tenté de faire tendre n vers l'infini pour voir ce qui se passe. Sauf erreur la suite de fonctions f(n) converge simplement vers la fonction f:x->x définie sur [0;1].   (1)
Donc (??) la longueur du segment défini par f est aussi 2.

Et pourtant c'est l'hypothénuse du triangle défini par les deux axes et f, et la longueur doit donc être racine(2).

L'argument (1) ne permet certainement pas de passer à la conclusion erronée qui suit. Je vois bien que ce raisonnement n'est pas rigoureux, et pourtant il m'intrigue. Où passe la longueur manquante ?
Merci d'avance !

Fred

Administrateur

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Messages : 7 349

Re : Démonstration erronée

Bonjour Marcel,

  Le problème est le suivant : la longueur d'une courbe y=f(x) n'est pas donné par la fonction f elle-même, mais par sa dérivée. Si on s'intéresse aux valeurs de x comprises entre a et b, alors la longueur de la courbe est donnée par
[tex]\int_a^b \sqrt{1+(f'(x))^2}dx[/tex].
Par exemple, si f(x)=x, f'(x)=1, et la formule précédente pour a=0 et b=1 te donne bien racine de deux.

Ta suite de fonctions f(n) converge bien vers f, avec f(x)=x.
Mais ce n'est pas du tout le cas de la suite des fonctions dérivées, les dérivées de f(n) en chaque point étant ou égales à 0, ou égales à +oo.

Fred.

Marcel

Invité

Re : Démonstration erronée

Limpide. Merci !

Marcel

Invité

Re : Démonstration erronée

Ceci dit les f(n) n'étant pas dérivables sur [0;1], on ne peut même pas définir la longueur l(n) comme l'intégrale en question, et donc on n'a même pas à envisager une éventuelle convergence des "f'(n)".
Enfin en tout cas ça pointe bien le problème et permet de voir comment on pourrait faire pour démontrer ça rigoureusement si c'était vrai.

Merci !