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myriam1

Invité

convergence en probabilité [Résolu]

Bonjour

J'ai un pb à vous soumettre car je n'y arrive pas, merci de me répondre svp.
soit (xn) une suite de variable aléatoire independante et de meme loi de bernouilli de parametre p appartenant à ]0,1[
pour n appartenant à entiers naturels privé de zéro, on considère la variable Yn=Xn+Xn+1.
1/ determiner la loi de Yn et calculer E(Yn) et V(Yn) en fonction de p
2/soit Tn=(Y1+..+Yn)/n
caluculet E(Tn) et V(Tn)
3/ demontrer que la suite de v.a Tn converge en proba vers la cste 2p.

Merci par avance

freddy

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Re : convergence en probabilité [Résolu]

Bonjour,

je reformule :

soit [tex](X_n)[/tex] une suite de variable aléatoire independante et de même loi de Bernoulli de paramètre p appartenant à l'ouvert ]0,1[

Pour n entier non nul, on considère la variable [tex]Y_n=X_n+X_{n+1}[/tex].

1/ determiner la loi de [tex]Y_n[/tex] et calculer [tex]E(Y_n)\;\text{et}\;V(Y_n)[/tex] en fonction de p.

2/soit [tex]T_n=\frac{1}{n}\times(Y_1+ \cdots+Y_n)[/tex]

Calculer [tex]E(T_n)\; \text{et}\; V(T_n)[/tex]

3/ démontrer que la suite de v.a [tex](T_n)[/tex] converge en proba vers la constante 2p.

Puisque une va de Bernoulli prend par convention les deux valeurs 0 (avec une proba = 1-p) et 1 (avec une proba = p), la va Y prend les valeurs suivantes :

0 avec une proba égale à (1-p)² (puisqu'il faut que les deux réalisations de X soient nulles)
1 avec une proba égale à 2*p(1-p) (puisqu'on a soit 0+1 soit 1+0)
2 avec une proba égale à  p² (puisqu'on doit avoir simultanément 1+1)

On vérifie que la somme de ces trois probabilités élémentaires est bien égale à 1. Cette étape est un test d'auto vérification toujours très utile pour débusquer d'éventuelles erreurs de raisonnement.

On a par définition : [tex]E(Y_n)=0\times (1-p)^2+1\times 2p(1-p)+2\times p^2=2p[/tex]

et [tex]V(Y_n)=0^2\times (1-p)^2 + 1^2\times 2\times p(1-p) + 2^2\times p^2-\left(2p\right)^2=2\times p(1-p)[/tex]

En appliquant directementes théorèmes classique sur la somme de va iid, on retrouve ces résultats, à savoir :

[tex]E(X_n+X_{n+1})=E(X_n)+E(X_{n+1})=2\times E(X)\;\text{et}\;V(X_n+X_{n+1})=2\times V(X)[/tex]

C'est ainsi qu'on établit que :

[tex]E(T_n)=\frac1n \times \sum_{p=1}^n E(Y_p)=E(Y_n)=2\times p[/tex]

et

[tex]V(T_n) = \frac{1}{n^2}\times \sum_{p=1}^n V(Y_p)=\frac1n \times V(Y_n)=\frac1n \times 2\times p(1-p)[/tex].

Puisque la limite de la variance de T quand n tend vers + l'infini = 0, cela signifie que la variable aléatoire T converge vers une valeur constante (puisque de variance nulle) égale à E(T) = 2p.

QED.

Dernière modification par freddy (02-12-2010 14:33:12)