Suites : un problème difficile... [Résolu]

abousayfan · 23-04-2009 13:57:57

bonjour,

Vilà mon souci :
Une suite est définie par: U1 = 3 et Un+1 = [tex]U_n^2 - 3U_n + 4[/tex]

1) Montrer que que (Un) est croissante et que Un>n+2 ( c'est facile)
2) Soit (Vn) définie par Vn = 1/(U1-1) + 1/(U2-1) +......+ 1/(Un-1).
Montrer que (Vn) admet une limite finie que l'on calculera...

Voila je suis coincé pour cette dernière question, merci d'avance de m'aider et je suis désolé pour l'ecriture..

[EDIT]@Yoshi
Quand tu écris [Un][2] -3Un + 4, veux-tu dire [tex]U_n^2 - 3U_n + 4[/tex] ou autre chose ?
Pour l'écriture :
1. Voir http://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=1943
ou
2. Clic sur "Insérer une équation" : éditeur de formules mathématiques (pré-requis JAVA installé)

Dernière modification par abousayfan (23-04-2009 22:58:27)

abousayfan · 23-04-2009 23:06:38

bonjour
la question c'est d'abord se comprendre et puis on trouve le temps pour comprendre la meilleure facon..
merci mon ami..

freddy · 24-04-2009 08:32:46

abousayfan a écrit :

bonjour
la question c'est d'abord se comprendre et puis on trouve le temps pour comprendre la meilleure facon..
merci mon ami..

Bonjour nouvel ami,

il reste que [tex] U_n > 3 [/tex] est faux pour n = 1.

Pourriez vous aussi, SVP, "coder" en LaTex la seconde question, pour qu'on puisse vous aider ?

D'avance, merci .

Dernière modification par freddy (24-04-2009 08:46:44)

abousayfan · 24-04-2009 23:25:38

Bonjour freddy
1) Pour la premuère question [tex]{U}_{n}\geq 3[/tex] à partir du rang n = 3
2) Soit la suite ( [tex]{V}_{n}[/tex]) définie sur [tex]\mathbb{N}^*[/tex] par :
[tex]{V}_{n}=\,\frac{1}{{U}_{1}-1}\,+\,\frac{1}{{U}_{2}-1}\,+......+\,\frac{1}{{U}_{n}-1}[/tex].
Montrer que ( [tex]{V}_{n}[/tex]) admet une limite finie que l'on calculera. [tex]{U}_{n}\geq n\,+\,1\,à\,partir\,du\,rang\,n\,=\,3[/tex].
Je doit signaler que le niveau est la [tex]{1}^{ère}[/tex] S.

Dernière modification par abousayfan (25-04-2009 16:15:46)

freddy · 25-04-2009 19:22:56

Bonsoir abousayfan,

votre sujet est un peu curieux : certes, la série converge vers une limite (que j'ai calculée sous Excel), mais la méthode suggérée pour prouver que la série converge est inadaptée. En effet, montrer que la série est majorée par une série divergente (série harmonique de terme général [tex] \frac{1}{n}[/tex]) ne permet pas, loin s'en faut, d'établir sa convergence.
Êtes vous sûr de l'énoncé du sujet ?

freddy · 25-04-2009 22:07:34

Re,

En réchissant encore un peu, je m'aperçois que si on demande d'établir que [tex] U_n \ge n^2 +1 [/tex] à partir de n = 4, alors le sujet prend un peu plus de relief, puisque la série [tex] Vn [/tex] est majorée par une série de Riemann convergente. Elle est donc convergente.

En effet [tex] \sum\limits_{k=4}^n \frac{1}{U_k-1}\le\sum\limits_{k=4}^n \frac{1}{k^2}\,<\,\frac{\pi^2}{6}[/tex]

Dernière modification par freddy (25-04-2009 22:39:22)

abousayfan · 25-04-2009 22:21:51

C'est un concour national proposé à mes eleves et comme tu vois j'ai du mal à leur donner un réponse sur.
Même dans ce cas on ne peut pas affirmer la convergence de la suite ([tex]{V}_{n}[/tex]) car tout ce qu'on peut dire : si elle converge alors sa limite est inferieur ou égal à [tex]\frac{{\pi }^{2}}{6}[/tex]..
Merci pour l'effort..

freddy · 25-04-2009 22:38:16

Sa limite vaut 1, mais je ne l'ai pas encore démontré, seulement conjecturé.

yoshi · 26-04-2009 09:51:12

Bonjour,

Voilà deux jours que je galère...
Sujet de 1ere S ? Boufre !!! Mais Concours national... Ca doit donc être très subtil !
Je vais attirer l'attention de Barbichu : si lui ne trouve pas, alors...

Bon, j'ai peut-être un "début de commencement d'amorce" de piste.
Je prends la suite auxiliaire : [tex]W_n={1 \over {U_n - 1}}[/tex]
J'ai donc [tex]V_n= \sum_{i = 1}^n W_n[/tex].
Même si, apparemment ça ne sert à rien, je veux exprimer [tex]W_{n+1}[/tex] en fonction de [tex]W_n[/tex]
[tex]W_{n+1}={1 \over {U_{n+1} - 1}}[/tex] donc [tex]U_{n+1}-1={1 \over {W_{n+1}}}[/tex]
Et :
[tex]U_{n+1}=U_n^2-3U_n+4=1+{1 \over {W_{n+1}}}[/tex]
Or, [tex]U_n=1+{1 \over W_n}[/tex]
donc :
[tex]\left(1+{1 \over {W_{n+1}}}\right)^2-3\left(1+{1 \over {W_{n+1}}}\right)+4=1+{1 \over {W_{n+1}}}[/tex]
Je développe et réduis :
[tex]{1 \over {W_{n+1}}}={1 \over W_n^2}-{1 \over W_n}+1[/tex] Avec [tex]W_1= {1 \over 2}[/tex]
D'où :
[tex]{1 \over W_2}=\frac{1}{\frac{1}{4}}-\frac{1}{\frac{1}{2}}+1= 4-2+1 = 3 \Longrightarrow W_2 ={1 \over 3}[/tex]
De même, on obtient :
[tex]W_3={1 \over 7},\;W_4={1 \over 43}[/tex]
Par suite :
[tex]V_1={1 \over 2},\;V_2={5 \over 6},\;V_3={41 \over 42},\;V_4={1805 \over 1806}\cdots[/tex]

J'ai vu que [tex]\exists h\,\in\,\mathbb{N}^*,\,W_n={1 \over h}}[/tex], et que [tex]W_{n+1}= {1 \over {h(h-1)+1}[/tex]

N'y aurait-il pas moyen de prouver que [tex]\forall n\,\in\,\mathbb{N}^*,\, \exists k\, \in\,\mathbb{N}^*,\, V_n={{k -1}\over k}[/tex] par récurrence ?

@+

freddy · 26-04-2009 10:09:04

Bravo Yoshi, je n'étais pas allé aussi loin.
As tu remarqué que j'ai laissé à ton attention des références bibliographique sérieuses sur les proba. dans le joli problème des matheux de Barbichu ?

Freddy

Dernière modification par freddy (26-04-2009 10:09:23)

Barbichu · 26-04-2009 12:37:55

Salut,
ben c'est bon vous l'avez la solution ! À condition de remarquer que la suite [tex]A_n = U_n-2[/tex] joue un rôle bien particulier.
Elle vérifie en particulier la relation [tex]A_{n+1} = A_n(A_n+1)[/tex] (*).

Le calcul des permiers [tex]A_n[/tex] donne : [tex]A_1=1, A_2=2, A_3 = 6, A_4 = 42, A_5 = 1806[/tex]
Le simple calcul des premières valeurs de [tex]V_n[/tex] permet alors de très bien deviner ce qui se passe, [tex]V_n = \frac{A_{n+1}-1}{A_{n+1}}[/tex].
(pas besoin de passer par [tex]W_n[/tex] pour calculer les premières valeurs de [tex]V_n[/tex] yoshi)

Montrons le proprement maintenant :
* cas de base : n=1.
[tex]V_1 = \frac{1}{U_1-1} = \frac{1}{3-1} = \frac{1}{2} = \frac{2-1}{2} = \frac{A_2-1}{A_2}[/tex]

* étape de récurence :
[tex]V_{n+1} = V_n + \frac{1}{U_{n+1}-1}[/tex]
[tex] = V_n + \frac{1}{A_{n+1}+1}[/tex]
[tex] = \frac{A_{n+1}-1}{A_{n+1}} + \frac{1}{A_{n+1}+1} [/tex] (étape de récurence)
[tex] = \frac{(A_{n+1}-1)(A_{n+1}+1) + A_{n+1}}{A_{n+1}(A_{n+1}+1)} [/tex]
[tex] = \frac{(A_{n+1})(A_{n+1}+1) - (A_{n+1}+1) + A_{n+1}}{A_{n+1}(A_{n+1}+1)} [/tex]
[tex] = \frac{A_{n+2} - (A_{n+1}+1) + A_{n+1}}{A_{n+2}} [/tex] (relation (*) 2 fois)
[tex] = \frac{A_{n+2} - 1}{A_{n+2}} [/tex]
CQFD

++

PS : pardon j'oubliais de conclure :
Ainsi [tex]V_n = 1 - \frac{1}{A_{n+1}}[/tex].
Or [tex]A_n = U_n - 2 \geq n+1[/tex] (pour tout n)
Donc [tex]\left|V_n - 1\right| \leq \frac{1}{n+2} \underset{n \rightarrow +\infty}{\rightarrow} 0[/tex]

D'où [tex]V_n \underset{n \rightarrow +\infty}{\rightarrow} 1[/tex]
Qed.

Dernière modification par Barbichu (26-04-2009 12:55:45)

yoshi · 26-04-2009 15:37:27

Bonjour,

Merci msieu !
Merci pour abousayfan et ses élèves. Je n'étais pas tombé bien loin, mais j'étais tombé quand même, faute d'avoir vu le rôle de Un-2...

Ce Barbichu quand même, quel tââlent... !
On ne fait jamais appel à lui en vain ! Incollable, je vous dis...

@+

abousayfan · 26-04-2009 21:03:02

Merci pour tout, merci pour fredy, pour toi yoshi et bien sur pour le grand Barbichu..
j'ai l'honneur de tomber sur ce forum vraiment interessant..
Encore merci et j'espère donner le plus..

abousayfan · 29-04-2009 23:16:29

Bon j'ai developpé en se basant sur l'idée de l'un de mes eleves une résolution plus simple comme je le crois bien sur :
comme [tex]{U}_{n+1}=\left({U}_{n}-1\right)\left({U}_{n}-2\right)[/tex], alors on a : [tex]\frac{1}{{U}_{n+1}-1}=\frac{1}{{U}_{n}-2}-\frac{1}{{U}_{n}-1}[/tex] ce qui donne que : [tex]\frac{1}{{U}_{n}-1}=\frac{1}{{U}_{n}-2}-\frac{1}{{U}_{n+1}-2}[/tex].
Par itération, on aura : [tex]{V}_{n}=\frac{1}{{U}_{1}-2}-\frac{1}{{U}_{n+1}-2}[/tex].
D'ou le resultat déja prouvé..
Merci

yoshi · 30-04-2009 06:54:45

Bonjour,

Faute de frappe ?
Tu avais donné : [tex]U_{n+1}=U_n^2-3U_n+4[/tex]
Or ici, [tex](U_n-1)(U_n-2)=U_n^2-3U_n+2[/tex]
Alors ?

J'avais trouvé :
[tex]U_{n+1}=\left(U_n-{3 \over 2}\right)^2+{7\over 4}[/tex], mais je n'avais pas pu en faire grand chose...

@+

freddy · 30-04-2009 19:27:05

abousayfan a écrit :

Bon j'ai developpé en se basant sur l'idée de l'un de mes eleves une résolution plus simple comme je le crois bien sur :
comme [tex]{U}_{n+1}=\left({U}_{n}-1\right)\left({U}_{n}-2\right)[/tex], alors on a : [tex]\frac{1}{{U}_{n+1}-1}=\frac{1}{{U}_{n}-2}-\frac{1}{{U}_{n}-1}[/tex]
Merci

Ce qui permet d'établir un résultat célèbre : 1 = 0

Cher abousayfan, pourriez vous SVP nous communiquer l'énoncé exact d'un sujet qui nous a un peu préoccupés. Juste pour "l'honneur de l'esprit humain" !
Merci d'avance.

Dernière modification par freddy (01-05-2009 12:23:52)

abousayfan · 01-05-2009 14:36:16

Je m'excuse, faute de frappe : Alors on a [tex]{U}_{n+1}-2\,=\,\left({U}_{n}-1\right)\left({U}_{n}-2\right)[/tex]. Ainsi [tex]\frac{1}{{U}_{n+1}-2}\,=\,\frac{1}{{U}_{n}-2}\,-\,\frac{1}{{U}_{n}-1}[/tex]. Par suite [tex]\frac{1}{{U}_{n}-1}\,=\,\frac{1}{{U}_{n}-2}\,-\,\frac{1}{{U}_{n+1}-2}[/tex].
En fin [tex]{V}_{n}=\,\sum^{n}_{k\,=\,1}\frac{1}{{U}_{k}-2}\,-\,\sum^{n}_{k\,=\,1}\frac{1}{{U}_{k+1}-1}\,=\,\frac{1}{{U}_{1}-2}\,-\,\frac{1}{{U}_{n+1}-2}[/tex].
Comme [tex]{U}_{n+1}-2\rightarrow +\infty ,\,alors\,{V}_{n}\rightarrow \frac{1}{{U}_{1}-2}\,=\,1[/tex]

freddy · 02-05-2009 08:07:41

abousayfan a écrit :

Je m'excuse, faute de frappe : Alors on a [tex]{U}_{n+1}-2\,=\,\left({U}_{n}-1\right)\left({U}_{n}-2\right)[/tex]. Ainsi [tex]\frac{1}{{U}_{n+1}-2}\,=\,\frac{1}{{U}_{n}-2}\,-\,\frac{1}{{U}_{n}-1}[/tex]. Par suite [tex]\frac{1}{{U}_{n}-1}\,=\,\frac{1}{{U}_{n}-2}\,-\,\frac{1}{{U}_{n+1}-2}[/tex].
En fin [tex]{V}_{n}=\,\sum^{n}_{k\,=\,1}\frac{1}{{U}_{k}-2}\,-\,\sum^{n}_{k\,=\,1}\frac{1}{{U}_{k+1}-2}\,=\,\frac{1}{{U}_{1}-2}\,-\,\frac{1}{{U}_{n+1}-2}[/tex].

Je viens de corriger une seconde faute de frappe, cher ami.
Je dois vous avouer que j'ai le sentiment que vous ne nous avez pas donné l'intégralité du sujet, car l'astuce de la décomposition [tex]\frac{1}{{U}_{n+1}-2}\,=\,\frac{1}{{U}_{n}-2}\,-\,\frac{1}{{U}_{n}-1}[/tex] a dû être, d'une manière ou d'une autre, suggérée aux élèves de 1er S.

Manifestement, c'était tout le sel de l'exercice, l'idée force de l'élaboration de ce joli sujet que seul son concepteur avait en tête et sans laquelle nul ne pouvait a priori répondre dans un court délai.
Bonne journée.

++

Dernière modification par freddy (02-05-2009 09:52:16)

abousayfan · 02-05-2009 11:12:58

Bonjour
Cher Freddy, j'ai donné intégralement l'enoncé mais n'oubliez pas l'information que c'est un concour national pour les meilleurs eleves et pas un sujet à la porté de tout le monde..
La dernière idée est venue au hasard et ca fait plaisir pour tout le monde, comme je le crois..
Merci..

freddy · 02-05-2009 11:41:47

Comme disait Georges Charpak, prix Nobel de physique 1992 : "la chance sourit à ceux qui y sont préparés".

Ceux qui ont trouvé sont de vrais kraks, futurs médaillées Field, à n'en point douter.

Bonne journée.

++

abousayfan · 02-05-2009 16:19:13

Pas à ce point mon ami, bon d'accord je tire maintenant votre attention pour un exercice d'arithmétique du même concour dans une autre page..
Merci..

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 23-04-2009 13:57:57

Suites : un problème difficile... [Résolu]

#2 23-04-2009 23:06:38

Re : Suites : un problème difficile... [Résolu]

#3 24-04-2009 08:32:46

Re : Suites : un problème difficile... [Résolu]

#4 24-04-2009 23:25:38

Re : Suites : un problème difficile... [Résolu]

#5 25-04-2009 19:22:56

Re : Suites : un problème difficile... [Résolu]

#6 25-04-2009 22:07:34

Re : Suites : un problème difficile... [Résolu]

#7 25-04-2009 22:21:51

Re : Suites : un problème difficile... [Résolu]

#8 25-04-2009 22:38:16

Re : Suites : un problème difficile... [Résolu]

#9 26-04-2009 09:51:12

Re : Suites : un problème difficile... [Résolu]

#10 26-04-2009 10:09:04

Re : Suites : un problème difficile... [Résolu]

#11 26-04-2009 12:37:55

Re : Suites : un problème difficile... [Résolu]

#12 26-04-2009 15:37:27

Re : Suites : un problème difficile... [Résolu]

#13 26-04-2009 21:03:02

Re : Suites : un problème difficile... [Résolu]

#14 29-04-2009 23:16:29

Re : Suites : un problème difficile... [Résolu]

#15 30-04-2009 06:54:45

Re : Suites : un problème difficile... [Résolu]

#16 30-04-2009 19:27:05

Re : Suites : un problème difficile... [Résolu]

#17 01-05-2009 14:36:16

Re : Suites : un problème difficile... [Résolu]

#18 02-05-2009 08:07:41

Re : Suites : un problème difficile... [Résolu]

#19 02-05-2009 11:12:58

Re : Suites : un problème difficile... [Résolu]

#20 02-05-2009 11:41:47

Re : Suites : un problème difficile... [Résolu]

#21 02-05-2009 16:19:13

Re : Suites : un problème difficile... [Résolu]

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