Forum de mathématiques - Bibm@th.net

sedah

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ex 2

Bonjour j 'aurai besoin de vous SVP pour l 'exercice 2 de mon dm que je dois rendre à la rentrée
MERCI à VOUS .

Soit ABC un triangle acutangle ( qui a 3 angles aigu) inscrit dans un cercle de centre O et H l 'orthocentre de ce triangle .
Les droites (AH) et(AO) recoupent respectivement le cercle (C) en H' et A'.
1)Demontrer que BHCA' est un paralellogramme
2)Demontrer que H' est le symetrique de H par rapport à (BC)
utiliser le triangle HAH'
faites une redaction en utilisant des liens logiques

1) BHCA' est un parallelogramme ?
On sait que ABC triangle acutangle inscrit dans (C) et que H l 'orthocentre tel que A' coupe (C)
Si d 'apres la regle sur les vecteurs je relis le coté [CH] et [HB] je formerai un autre coté ayant pour sommet A' et cela formera un parallelogramme
puisque :
- le vecteur BA et le vecteur OC ont la meme longueur
- le vecteur HB et le vecteur CA' ont la meme longeur
donc BA'CO  est donc un parallelogramme

2)H' est le symetrique de H par rapport à (BC)
la droite (AH) coupe (C) en H' et comme H est l 'orthocentre des sommets A,B,C
alors la longeur AH sera la meme que la longeur AH'
J 'ai du mal avec cette question de plus sur ma figure je ne voie pas le triagne AHH'
pouvez vous m 'aider SVP
MERCI

yoshi

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Re : ex 2

Bonjour,

Tu peux remballer ta réponse dès la 1ere question !
Blablabla...
Pas de vecteurs, inutile (sauf si on te l'a demandé)...
Géométrie pure, donc...

Par hypothèse (AO) coupe le cercle en A', donc [AA'] est un diamètre.
Puisque par hypothèse, C est sur le cercle de diamètre [AA'], le triangle A'CA est rectangle en C.
Donc l'angle C est droit et [tex](A'C) \perp (AC)[/tex].
(BH) passe par H, orthocentre, donc (BH) est une hauteur du tr. ABC, donc [tex](BH) \perp (AC)[/tex]
Puisque les deux droites (BH) et (A'C) sont toutes deux perpendiculaires à (AC), alors elles sont parallèles..
idem pour les deux autres côtés...

Je repasse ce soir, là j'ai du monde à la maison.

@+

yoshi

Modo Ferox

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Re : ex 2

Re,

Le quadrilatère BHCA' qui a ses 4 côtés parallèles deux à deux est donc un parallélogramme...

utiliser le triangle HAH'

Ces 3 points sont alignés, il n'y a pas de triangle HAH', plutôt HA'H'...
Par hypothèse A est sur le cercle (C). Par démonstration, ce cercle a pour diamètre [AA']
Donc puisque le le point A appartient au cercle de diamètre [AA'], le triangle AHA' est rectangle en A.
Par hypothèse, H' est sur la droite (AH). donc le triangle HH'A' est aussi rectangle en A.
Soit I, le point d'intersection des diagonales [HA'] et [BC] du parallélogramme BHC'A...
I est donc le milieu de [HA'].
Donc, [AI'] qui joint le sommet A du triangle HH'A' rectangle en A au point I  milieu de l'hypoténuse [HA'] est la médiane relative à l'hypoténuse de ce triangle HH'A'.
Donc ... = ... = ...

Maintenant si tu veux prouver que H' est le symétrique de H par rapport à (BC), il te faut montrer que (BC) est la médiatrice de [HH'] (définition de la symétrie axiale).
Maintenant que tu possèdes un point (lequel ?) sur cette médiatrice, il y a deux méthodes :
1. Soit tu trouves un deuxième point (B ou C) sur cette médiatrice en signalant que (BC) est perpendiculaire à (AH) donc à (HH') et tu argumentes proprement pour dire que c'est la médiatrice...
2. Soit tu prouves que (H'A') est // (BC) :
    * (HH') est un morceau de la hauteur (AH) relative à [BC], donc...
    * (HH') est perpendiculaire à (A'H') (triangle rectangle)
    deux droites perpendiculaires à la même droite sont //...
    Et dans ce cas, tu utilises un des théorèmes de la droite des milieux dans le triangle HH'A' :
    - (BC) passe par I milieu de [HA']
    - (BC) // (H'A')
    - Conclusion pour le point d'intersection de (BC) avec [HH'] ?
    - Définition de la médiatrice d'un segment :
      c'est la droite qui passe par le milieu de ce segment et qui lui est perpendiculaire
    - Conclusion pour (BC) et [HH'] ?
    - Conclusion : H' est le symétrique de H par rapport à (BC)...

@+

sedah

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Re : ex 2

bonjour et merci et Joyeuses Paques :)
pour l 'ex
question 1) quand vous avez demander idem pour les 2 autres cotes voici ce que j 'ai fais
on sait que A' est le point qui est donnée lorque que (AH) coupe (C)
donc [BA'] est paralléle et de meme longeurs que [AC] et donc [BA] est parallele et de meme mesure que [A'C]
donc BA'CA est un parallelogramme

yoshi

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Re : ex 2

Bonjour,

Joyeuses Pâques à toi aussi...
Non : idem = même méthode.
Les deux autres côtés l'un, (CH) est la hauteur perpendiculaire à (AB), l'autre (A'B) est un côté du triangle A'BA rectangle en B (pourquoi ?) : ils sont tous deux perpendiculaires à (AB).
La règle à appliquer pour le parallélo est 4 côtés // 2 à 2 : c'était écrit dans mon post précédent ! Seule méthode employable : tu ne peux pas prouver l'égalité des longueurs des côtés sans déjà savoir que tu as un parallélogramme...

@+

sedah

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Re : ex 2

bonsoir :)
merci voici ce que  j'ai trouvé pour la question 1
1)
I est le milieu de [BC] et de [HA']
donc :- HI=HA'
          - BI=IC

pour la question 2 j 'ai trouvé ça mais en meme temps ça explique rien desolée

on considère un triangle ABC et son cercle circonscrit (c). On note H l'orthocentre du triangle. Démontrer que le symétrique H' de ce point par rapport au côté [BC] est situé sur (c).
a/
Prouver que le quadrilatère BHCA' est un parallélogramme
En déduire que le milieu I de [BC] est aussi celui de [HA'].
b/
Justifier que (BC) et (H'A') sont parallèles
c/
Prouver que (BC) coupe le segment [HH'] en son milieu. Conclure

comme vous pouvez le voir j 'ai tout et rien
povez vous m 'aider SVP
MERCI

yoshi

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Re : ex 2

Bonsoir,

1. Parallélogramme : il a ses 4 côtés parallèles 2 à 2.
Pour la suite, je constate que ton énoncé n'est plus tout à fait le même que la dernière fois : c'est un peu agaçant...
Les diagonales de ce parallélogramme se coupent en leur milieu. Donc I milieu de [BC] erst donc aussi celui de [HA'].

2. Donc, [AI] qui joint le sommet A du triangle HH'A' rectangle en A au point I  milieu de l'hypoténuse [HA'] est la médiane relative à l'hypoténuse de ce triangle HH'A'.
Règle (classe de 4e) : : La médiane relative à l('hypoténuse d'un triangle rectangle a une longueur égale à celle de la moitié de la longueur de l'hypoténuse.
Donc IH = IH' =  IA
Le point I de [BC] est donc équidistant des extrémités H et H' du segment [HH']. Il appartient donc à la médiatrice de [HH'].
C'est le premier pas.
Voila le 2e....
H' est sur sur le cercle de diamètre [AA'] : le triangle AH'A' est donc rectangle en H'...
Donc [tex](AH')\perp (H'A')[/tex] (1)
H' est sur la hauteur (AH) relative au triangle (ABC), donc
[tex](AH')\perp (BC)[tex] (2).
(1) et (2) Puisque les droites (BC) et (H'A') sont toutes deux perpendiculaires à la droite (AH'), elles sont parallèles entre elles :
(BC) // (H'A').
Or, le point I est le milieu de [HA'].
Donc dans le triangle HH'A', la droite (BC) qui passe par le point I milieu du côté [HA'], parallèlement au côté [H'A'] coupe le 3e côté [HH'] en son milieu (appelons-le J)...

On sait maintenant que le point I de (BC) est sur la médiatrice de [HH']
On sait aussi que le point J de (BC) est le milieu de [HH'], il est donc aussi sur la médiatrice de [HH'].
Donc (IJ) est la médiatrice de [HH'] et comme I et J sont sur (BC), il résulte que (BC) est la médiatrice de [HH'].
Par conséquent H' est le symétrique de H par rapport à (BC)...

Maintenant va relire attentivement mon message #6 puis la solution et tu recommences tes lectures jusqu'à ce que tu voies comment j'ai mis en oeuvre le plan que je t'y avais donné... et que tu soies capable de refaire la démonstration seule...

@+