Forum de mathématiques - Bibm@th.net

poline72

Invité

re parallélépipède

Bonjour
j'ai de nouveau un problème avec mon parallélépipède mais avec une autre question
qui est

Déterminer les dimensions d'un parallélépipède rectangle de volume égal à 2 rendant maximale (resp minimale) la surface

j'ai donc exprimer S en fonction de b et c qui me donne S(b,c)= 4/c+4/b+2bc
j'ai calculer les dérivées partielles
dS/db=-4/b^2+2c
dS/dc=-4/c^2+2b
je pensais remplacer c dans dS/db en fonction de a et b dans dS/dc en fonction de a je me retrouve ainsi avec :
dS/db=4(1/a-1/b)
dS/dc=4(1/a-1/c)
je trouve aprés avoir étudier la croissance a=b=c mais je ne sais pas comment le démontrer de façon claire
merci de m'aider

Barbichu

Membre actif

Inscription : 15-12-2007

Messages : 405

Re : re parallélépipède

Salut,
je t'aurais bien conseillé de le montrer par l'absurde.
"Soit S une surface maximale, supposons que l'on a pas a=b=c".
Sauf que cette fois-ci, c'est faux : ce n'est pas la bonne réponse.
(tes calculs me semblent juste, c'est ta conclusion qui est erronée)

(En fait tu peux montrer la solution pour le volume maximal ainsi, de façon propre)
++

Dernière modification par Barbichu (29-10-2008 14:21:06)

poline72

Invité

Re : re parallélépipède

re,
en fait j'aboutis au résultat 1/a=1/b=1/c qui devient a=b=c je ne vois pas où est mon erreur????

Je vais essayer de démontrer la première question par l'absurde car je n'avais pas fais comme ça.

Barbichu

Membre actif

Inscription : 15-12-2007

Messages : 405

Re : re parallélépipède

Re, l'erreur c'est que a croissant => 1/a décroissant

Barbichu

Membre actif

Inscription : 15-12-2007

Messages : 405

Re : re parallélépipède

Euh, moi je suis resté sur "maximiser" la surface, hein ?

poline72

Invité

Re : re parallélépipède

oui oui pour maximiser le volume c'est a=b=c
et pour maximiser la surface je trouve 1/a=1/b=1/c ce qui est faux et la je vois vraiment pas comment faire, cet exercice commence à me désespérer...

est ce que vous pouvez m'expliquer comment faire pour le 2ème cas? et comment le démontrer proprement dans le 1er cas car je comprends bien le résonnement par l'absurde mais je ne vois pas comment l'appliquer ici de manière propre..

poline72

Invité

Re : re parallélépipède

re

j'ai trouvé une autre méthode pour résoudre cet exercice mais je ne la comprend pas tout a fait c'est la méthode des multiplicateurs de lagrange pourriez vous me l'expliquer?
merci d'avance

poline72

Invité

Re : re parallélépipède

merci
j'ai tout compris dans les 2 cas pour le volume puis la surface( en fait elle n'admet pas de maximum mais un minimum qui est valable pour a=b=c)

merci de votre aide!!

Barbichu

Membre actif

Inscription : 15-12-2007

Messages : 405

Re : re parallélépipède

Salut
c'est exact, on peut rendre la surface arbitrairement grande, à volume fixé.
Au cas où, voici ce que je pense être la démo la plus courte pour la surface minimale

Supposons que la surface minimale soit atteinte pour [tex](a_0,b_0,c_0)[/tex] mais que l'on ait pas [tex]a_0=b_0=c_0[/tex].
On peut se contenter de traiter le cas [tex]a_0>b_0[/tex] (les autres cas sont symétriques)
En regardant S et a comme fonctions de b et c, on a [tex]\frac{\partial S}{\partial b}(b,c) = 4\left(\frac{1}{a(b,c)}-\frac{1}{b}\right)[/tex]
Donc [tex]\frac{\partial S}{\partial b}(b_0,c_0) = 4\left(\frac{1}{a_0}-\frac{1}{b_0}\right) < 0[/tex] ce qui signifie que S est strictement décroissante suivant b, au voisinage de [tex](b_0,c_0)[/tex] .
Il existe donc [tex]\varepsilon>0[/tex] tel que [tex]S(b_0+\varepsilon,c_0) < S(b_0,c_0)[/tex] ce qui contredit la minimalité de S(b0,c0)

à adapter légèrement pour le volume maximal.
++

Dernière modification par Barbichu (30-10-2008 12:45:17)

poline72

Invité

Re : re parallélépipède

salut
je n'aurait pas penser à faire comme ça
merci de votre aide je pense avoir bien compris comment il fallait faire
je n'ai plus qu'à tout bien rédiger
merci encore
bye