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yoshi

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Probabilité d'identification d'un suspect par des témoins [Résolu]

Bonsoir,

A mon tour de quérir de l'aide sur un sujet qui ne m'inspire pas vraiment : les probabilités et moi faisant deux (sinon trois...)
Voici le sujet de l'exercice (probablement niveau terminale scientifique, même si proposé dans un programme de Statistiques pour une 2e année de licence de biologie) :

Dix suspects d'un délit commis par une seule personne sont proposés à l'identification par 4 témoins. Chaque témoin désigne un suspect comme étant le coupable, sans connaitre le choix des autres témoins. Un des suspects est désigné deux fois. Pensez vous que cela constitue une lourde charge contre lui ?
Imaginons la situation la plus absurde qui soit : chaque témoin désigne un suspect au hasard, les choix étant indépendants. Quelle est alors la probabilité pour qu'au moins un suspect soit désigné au moins deux fois ?

La première chose à laquelle on pense, c'est à une équiprobabilité des éventualités = un suspect choisi par un témoin, égale à 1/10. (Loi Uniforme)

A chaque nouveau "tirage" (chaque témoin), on a toujours 10 possibilités de choix (10 suspects), puisque chaque témoin peut re-désigner un suspect déjà désigné précédemment ... Ou en désigner un des 9 autres.
Donc pour le tirage n°2, on a, pour chacune des 10 éventualités précédentes (ayant chacune une proba de 1/10) encore 10 éventualités, ayant elles aussi une proba individuelle de 1/10 ... Soit 10^10 combinaisons.
Et ainsi de suite pour le tirage n°3, pour chacune de nos 10^10 éventualités, on a encore 10 éventualités supplémentaires possibles ...
Et encore 10 éventualités de plus pour chacune des éventualités précédentes pour le tirage n°4.
Ca c'est ce que pense ma fille.

Moi je pense à 10^4 possibilités de désignation d'un suspect...
Y aurait-il un produit à la clé, genre [tex]C_2^4\times C_4^{10}[/tex] ? pour dénombrer le nombre de possibilités qu'ont 4 personnes pour désigner 2 fois la même personne parmi les 10 suspects ?

Merci d'avance pour vos éclaircissements...

@+.

Dernière modification par yoshi (28-10-2008 18:02:54)

Barbichu

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Re : Probabilité d'identification d'un suspect par des témoins [Résolu]

Salut,

A chaque nouveau "tirage" (chaque témoin), on a toujours 10 possibilités de choix (10 suspects), puisque chaque témoin peut re-désigner un suspect déjà désigné précédemment ... Ou en désigner un des 9 autres.
Donc pour le tirage n°2, on a, pour chacune des 10 éventualités précédentes (ayant chacune une proba de 1/10) encore 10 éventualités, ayant elles aussi une proba individuelle de 1/10 ... Soit 10^10 combinaisons.

Non, pas 10^10 mais 10*10 (pour chacune des 10 possibilités de premier sucpect, on en a 10 pour le second suspect
Au total, il y a 10^4 tirages possible.

En fait notre univers est l'ensemble [tex]\{0,\ldots, 9\}^4[/tex] des quadruplets de suspects désignés par nos 4 témoins.
La probabilité de chaque événement élémentaire de notre univers est la même et est égale à 1/10^4.

On cherche la probabilité de l'événement A = "il existe un suspect désigné au moins 2 fois"
On a l'événement complémentaire de A, noté B = "tout suspect est désigné au plus une fois"
Et P(B) = 10x9x8x7 / 10^4 = 9x8x7 /10^3 =0.504
Car le premier témoin peut choisir le suspect qu'il veut, le second tous sauf un, etc ...
D'où P(A) = 0.496

Ensuite, comment en déduire que ça signifie que le protocole d'identification est inefficace ?
Pour celà il faudrait définir inefficace, c'est à dire déterminer un pourcentage d'erreur autorisé ? Il faudrait alors répéter l'expérience dans le cas équiprobable pour déterminer l'erreur commise. (Ce dernier point me semble hors-programme L2 Bio)

++

yoshi

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Re : Probabilité d'identification d'un suspect par des témoins [Résolu]

Re,

Merci m'sieur...
0.496 soit une chance sur 2 en gros...
On peut répondre que si un suspect est désigné par deux personnes sur 4 , ce n'est pas significatif...

Ton raisonnement est classique, j'aurais dû y penser...
Mais, vu ce que tu as fait, ce même raisonnement s'appliquerait-il avec une désignation par 3 personnes ?
L'événement complémentaire de "1 suspect est désigné par 3 personnes sur 4" est bien aussi B = "tout suspect est désigné au plus une fois", non ?

La deuxième question était :
"Chaque témoin désigne un suspect au hasard, les choix étant indépendants. Quelle est alors la probabilité pour qu'au moins un suspect soit désigné au moins deux fois ?"
Là je prends encore l'évènement complémentaire : << Chaque suspect est désigné au plus une fois >> Bizarre, ça ne me parait pas coller. La question comporte deux fois l'expression au moins :  "au moins un suspect est désigné au moins deux fois".
Chaque témoin ne désignant qu'un suspect, cette phrase n'a de sens que si deux suspects sont désignés chacun deux fois, non ?

@+

Barbichu

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Re : Probabilité d'identification d'un suspect par des témoins [Résolu]

Re,
attention j'ai répondu à la question suivante :

Imaginons la situation la plus absurde qui soit : chaque témoin désigne un suspect au hasard, les choix étant indépendants. Quelle est alors la probabilité pour qu'au moins un suspect soit désigné au moins deux fois ?

Et d'ailleurs j'ai défini, A = "il existe un suspect désigné au moins 2 fois"
Et sa négation est bien B = "tout suspect est désigné au plus une fois"

La négation de "au moins un suspect est désigné par 2 témoins sur 4" est "tout suspect est désigné par 0, 1, 3 ou 4 témoins" et il devient absurde d'utiliser la négation pour résoudre la question.

Au final quels sont les événements dont tu souhaites déterminer la proba ?
++

Dernière modification par Barbichu (29-10-2008 00:27:49)

yoshi

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Re : Probabilité d'identification d'un suspect par des témoins [Résolu]

Salut,

Re-merci.
Et bien pour comprendre totalemennt ce genre de traitement, je souhaiterais hors exercice, savoir la probabilité
- pour qu'une même personne soit désignée 3 fois sur 4,
- pour qu'une même personne soit désignée 4 fois sur 4.

Et aussi la réponse à la dernière question :
Probabilité pour qu'au moins un suspect soit désigné au moins deux fois ?

Cela dit, à mon corps défendant, je vais être absent à partir de 9 h 15, jusqu'à demain dans la matinée (en principe). Mais ma fille lira les réponses avec attention...

@+

Barbichu

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Re : Probabilité d'identification d'un suspect par des témoins [Résolu]

Re,
j'ai déjà répondu à la question : "Probabilité pour qu'au moins un suspect soit désigné au moins deux fois ?" c'est la seule question à laquelle j'aie répondu.

A/ Répondons à la question "Probabilité pour qu'au moins un suspect soit désigné exactement trois fois ?".
On choisit d'abord les trois témoins qui répondront la même chose, le nombre de choix est (3 parmi 4) (aussi noté [tex]C_3^4[/tex] = 4). Ils ont alors le choix parmi 10 suspects. Le 4e témoin aura alors 9 suspects possibles, .
Le nombre de cas possible est donc (3 parmi 4)*10*9 = 4*10*9.
Donc P("au moins un suspect est désigné exactement trois fois") = 4*10*9/10^4 = 0.036

B/ Sur le même schéma :
P("au moins un suspect est désigné exactement quatre fois") =(4 parmi 4) * 10 / 10^4 =  1*10/10^4 = 0.001

C/ Répondons à la question : "Probabilité pour qu'au moins un suspect soit désigné exactement deux fois ?"
Répondons en deux temps :
1/  "Probabilité pour qu'exactement un suspect soit désigné exactement deux fois ?"
On choisit d'abord les deux témoins qui répondront la même chose, le nombre de choix est (2 parmi 4) (= [tex]C_2^4[/tex] = 4*3/2 = 6). Ils ont alors le choix parmi 10 suspects. Le 3e témoin aura alors 9 suspects possibles, et le 4e témoin, 8 suspects possibles, car il ne doit pas choisir le même que les autres (à cause du "exactement un").
Le nombre de cas possible est alors (2 parmi 4)*10*9*8 = 6*10*9*8.
Donc P("exactement un suspect est désigné exactement deux fois") = 6*10*9*8/10^4 = 0.432

2/  "Probabilité pour qu'exactement deux suspect soit désigné exactement deux fois ?"
On choisit d'abord les deux paires de témoins qui répondront la même chose. On a 3 possibilités.
En effet, si on appelle les témoins A,B,C et D. On a les trois possibilités suivantes pour former deux pares de témoins:
* {A,B} et {C,D}
* {A,C} et {B,D}
* {A,D} et {B,C}
Puis la première paire à la choix entre 10 suspects, et la deuxième paire entre 9.
Donc P("exactement deux suspects sont désigné exactement deux fois") = 3*10*9/10^4 = 0.027

D'où en sommant : P("au moins un suspect est désigné exactement deux fois") = 0.432 + 0.027 = 0.459

D/ Et miracle !! car
   P("au moins un suspect est désigné exactement deux fois")
+ P("au moins un suspect est désigné exactement trois fois")
+  P("au moins un suspect est désigné exactement quatre fois")
= 0.459 + 0.036 + 0.001
= 0.496 =  P("au moins un suspect est désigné au moins deux fois")

Ça te va ?
++

Dernière modification par Barbichu (29-10-2008 12:43:35)

yoshi

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Re : Probabilité d'identification d'un suspect par des témoins [Résolu]

Re,

Merci, je médite maintenant tes différentes (et limpides) réponses.
Cette partie-là reste une (grosse) pierre dans mon jardin. Et il faut que je réfléchisse sérieusement à la façon de l'en déloger.
Ce n'est, hélas, pas nouveau : je dois faire une fixation là-dessus, puisque je n'en ai toujours pas trouvé le moyen.
C'est juste une façon de penser qui m'échappe et ça m'agace prodigieusement ("doux" euphémisme) !

@+

Barbichu

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Re : Probabilité d'identification d'un suspect par des témoins [Résolu]

Re,
C'est plus du dénombrement que des probas que je fais là (sur ce genre de problème la seule partie "proba" est de trouver l'univers et la loi de probabilité, le reste c'est de la détermination de cardinal).
Si ça peut te rassurer, la façon dont je l'ai écrit n'est pas la façon dont je le pense pour m'assurer que mon raisonnement est correct.
Pour m'assurer que c'est correct, je vérifie que j'ai bien construit une bijection entre l'ensemble que je veux dénombrer et l'ensemble qui me permet de le faire (ce dernier est implicite dans ma rédaction, mais bien concret dans ma tête).
++