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sedah

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developper , factoriser [Résolu]

bonjour , j 'aurai besoin de vous pour m 'indiquer mon erreur et aussi pour m 'expliquer les fameuses regles pour developper et factoriser SVP car j 'ai fait un devoir dont ma note est moyenne et mon prof m 'a dit qu' il fallait absolument savoir developper et factoriser donc j 'aimerai m 'ameliorer dans ce domaine
Merci pour votre aide ,

voici mon calcul :

[3x(x-2)]²
on me demande juste de developper et voilà ce que j 'ai fais lors du devoir :

[3x(x-2)]²
= (6x²-6x)²
= (6x²-6)(6x²-6)
= 36x^4 -36^3-36x^3 +36x²
= 36x ^4 - 72 x ^3+36x²

alors que le resultat est : 9x^4-36x^3+36x²
j 'ai en effet refait le calcul mais ce qui me gene c 'est que je comprend pas mon erreur en fait c 'est l 'ordre du developpement qui me gene , je sais que l 'on doit d 'abord developper ce qui a entre les parentheses ou crochet mais des qu 'il y a un chiffre devant je suis perdu
pouvez me citer les principales propriétes mais aussi comme je suis en seconde les developpements ne sont pas les memes que ce de troisieme donc par exemple avec ce calcul :

2(3-x)(5x-1/2)
je pense qu 'il faut developper d 'abord les parentheses puis apres le 3
mais le probleme c 'est que je ne sais pas trop dans quel cas je dois utiliser ces proprietés
de meme avec les carrés !
merci de vos explications

yoshi

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Re : developper , factoriser [Résolu]

Bonjour Sedah,

Alors, on va détailler tout ça
[3x(x-2)]²
= (6x²-6x)²
Non, on fait 3x * x - 3x * 2 ce qui donne 3x² - 6x

= (6x²-6)(6x²-6)
Non, par rapport à la 2e ligne, tu as oublié le x après le 6.

= 36x^4 -36^3-36x^3 +36x²
Là je ne vois pas du tout ce qu'est le 36^3... Ah si ! Tu as oublié le x...

Si je développe ta 2e ligne, je tombe bien sur :
= 36x ^4 - 72 x ^3+36x²

Mais développer la 3e ligne donne :
36x ^4 - 72 x^2+36.

Tu pouvais aussi appliquer la règle de 4e : (a * b)^n = a^n * b^n et trouver :
(3x)² * (x - 2)² = 9x² (x² -4x + 4) = 9x^4 - 36x^3 + 36x²...

Note bien que si tu fais appel aux produits remarquables appris en 3e, tu reconnais le 2e (a - b)² = a² - 2ab + b² où a = 3x² et b = 6x.
On a donc (3x² - 6x) = (3x²) - 2 * 3x² * 6x + (6x)² = 9x^4 - 36x^3 + 36x²

Note bien que ce produit remarquable se retrouvait aussi ici (x - 2)² = x² - 2 *x * 2 + 2² = x² -4x +4

Pour utiliser la distributivité :
a(b - c) = ab - ac
(a - b)(c - d) = ab - ad -bc + cd (on a multiplié chaque terme de la 1ere somme par chaque terme de la 2nde).

Dire que 2(3-x)(5x-1/2) est différent de ce que tu as fait en 3e est un peu abuser.
Il faut revenir aux sources...
Question est-ce que multiplier 3 * 4 * 5 en une fois ?
Autrement dit est-ce que lorsqu'on apprend es tables de multiplication on apprend 3 * 4 * 5 ?
Réponse, non !
On apprend 3 * 4, 4 * 3, 3 * 5, 5 *3, 4*5, 5 *4
Soit des multiplications e deux nombres seulement...
Or, il se trouve que la multiplication possède une particularité 3 * 4 * 5 = (3 * 4) * 5 = 3 x (4 * 5) = 4 * (3 * 5)....etc

Et bien, cette même propriété s'applique ici : tu commences par multiplier deux éléments et tu multiplies le résultat par le 3e.
Personnellement, à cause du 1/2, je ferais :
2(3-x)(5x-1/2) = (3 - x) * [2(5x - 1/2)] = (3 - x)(10x - 1)
Après, c'est comme d'habitude :  = 30x - 3 - 10x² +x
Tu peux encore faire :
2(3-x)(5x-1/2) = (6 - 2x)(5x - 1/2)
ou
2(3-x)(5x-1/2) = 2[(3 - x)(5x - 1/2) = 2(15x - 3/2 - 5x² + 1/2 x) = 30x - 3 - 10x² +x

Autre chose ? Veux-tu revenir sur un point précis ? le développer ?

@+

sedah

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Re : developper , factoriser [Résolu]

ok merci de votre aide , oui et donc avec les carrés c 'est le meme principe ?

sedah

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Re : developper , factoriser [Résolu]

ah aussi lesquel des 2 calculs est le plus fiable quand vous avez fait :
2(3-x)(5x-1/2)
car si j 'ai un autre calcul je ne pourrais pas avoir toujours le choix de developper de differentes manieres

yoshi

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Re : developper , factoriser [Résolu]

Bonjour,

Si !
Imaginons que tu aies à développer (2x + 3)(x - 7)(3x - 5), tu fais comme tu veux, pourvu que tu en multiplies deux et le résultat obtenu par le 3e : ici peu importe par quoi tu commences...

Dans le cas de ton sujet, comme je sais que lorsque les élèves restent trop longtemps avec les fractions, ils s'embrouillent., alors j'ai conseillé de commencer par effectuer 2(5x - 1/2), : comme ça on se "débarrasse" de la fraction tout de suite et après, on n'en parle plus...
Mais n'importe lequel des procédés décrits convient : c'est juste une question de prudence !

Si tu dois développer :

(3x + 5)²            |
(2x - 9)²             |> ce sont des produits remarquables, donc tu peux appliquer les formules et faire :
(7x + 4)(7x -4)   |

(3x + 5)² = (3x)² + 2 * 3x * 5 + 5² = 9x² + 30x + 25 |
(2x - 9)²  = (2x)² + 2 * 2x * 5 + 9² = 4x² + 90x + 81 |> Intérêt : le développement est déjà fait...
(7x + 4)(7x -4)  = (7x)² - 4² = 49x² -16                     |

Cela dit, rien ne t'empêche d'écrire :
(3x + 5)² = (3x + 5)(3x + 5) = (3x)² + 3x * 5 + 5 * 3x + 5² = 9x² + 15x + 15x + 25 = 9x² +30x + 25
La seule différence, c'est qu'il y a plus de calculs, donc c'est plus long et qu'il y a plus de risques d'erreurs...           

Par contre pour (3x - 5)(3x + 7), il n'y a pas le choix : ce n'est pas un produit remarquable...

Rassurée ?

@+

sedah

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Re : developper , factoriser [Résolu]

oui merci