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atrda

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probabilités [Résolu]

salut tout le monde!
j'espère que je peux poser cette question ici

en fait c'est une question simple.
vrai ou faux

1- deux variables aléatoires centrées X et Y sont non corrélées lorsque
E[X Y]=0?

2- deux variables aléatoires X et Y sont orthogonales lorsque E[X Y]=0 ?

Bien sur j'ai réfléchi à la question.

je crois que la première proposition est vraie, il s'agit de la corrélation entre X et Y qui est égale a covariance(XY)/ [écart type(X)*écart type(Y)]
il suffit que la covariance soit égale à zéro.
cov(XY)= E[XY] - E[X] E[Y]
d'après l'énoncé E[XY]=0
et comme X et Y sont deux v.a centrées alors E[X]=0 et E[Y]=0
donc la corrélation =0.

la deuxieme proposition est je crois fausse.
prenons toujours le coefficient de corrélation
r(XY)=covariance(XY)/ [ecart type(X)*ecart type(Y)]
r(XY)=cos(alpha) si X et Y sont des vecteurs. donc pour que les variables soient orthogonales il faut que cos(alpha)=0 donc toujours la corrélation nulle par conséquent une covariance nulle.
mais comme il n'est pas dit que les v.a X et Y sont centrées donc la corrélation n'est pas nulle et par conséquent les vecteurs X et Y ne sont pas orthogonaux.

merci

atrda

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Re : probabilités [Résolu]

j'ai aussi deux exercices tirés d'un concours et honnetement je n'y arrive pas du tout a les resoudre.

alors exo1
------------
soit X une variable aléatoire prenant la valeur i avec la probabilité Pi, i=1,2,...,n
soit la quantité suivante H(X) = -somme[Pi log(Pi)]

1- calculer H(X) si X est une constante
2- calculer H(X) pour Pi=1/n pout i=1,2,...,n
3- calculer la valeur maximale que peut atteindre H(X)

exo2
-----

soient X et Y deux v.a centrées de moments finis.
on veut estimer Y a partir de X comme suit:
1-on considere Y1(X)=C
calculer C tel que e1= E[(Y-Y1(X))*] soit minimale        *signifie au carré

2-on considere Y2(X)=ao+a1 X
calculer ao et a1 tels que e2=E[(Y-Y2(X))*] soit minimale

merci d'avance

Fred

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Re : probabilités [Résolu]

Salut,

  Pour ton premier message, je suis d'accord avec toi.
Du coup, je suis très étonné que tu ne saches "pas du tout" faire les deux exos.

Par exemple, pour l'exo 1 :
1- Si X est une constante, elle prend une seule valeur i avec une probabilité 1,
et donc la somme est réduite à un terme, 1*log(1)=0.
2. Il faut calculer [tex]{-}\sum_{i=1}^n\frac1n\times log(1/n))[/tex], c'est-à-dire que l'on somme
n fois le terme constant.... C'est vraiment pas dur!
3. Là, c'est normal de ne pas trouver!
Je suis un peu embêté pour te donner une solution.
J'imagine que tu es en prépa HEC, et je ne connais pas bien le programme de ces prépas, notamment
si tu connais les fonctions convexes.
Je suppose que oui. Dans ce cas, posons f(x)=-xlog(x).
Cette fonction est concave (facile à vérifier en calculant la dérivée seconde).
Ainsi, on a :
[tex]\frac1n f(p_1)+...+\frac{1}{n}f(p_n)\leq f\left(\frac{p_1+...+p_n}{n}\right)\leq f\left(\frac1n\right)[/tex]
Ceci se traduit encore en
[tex]f(p_1)+...+f(p_n)\leq f(1/n)+...+f(1/n)=\log(n)[/tex]
Ainsi, on a toujours [tex]H(X)\leq \log(n)[/tex], et cette valeur est atteinte lorsque la variable
aléatoire est équirépartie.
H(X) s'appelle l'entropie de X.

Exo 2 :
Tu développes les deux quantités. Il y a plein de simplifications qui apparaissent car les variables sont centrées,
et il reste des fonctions de C ou de a_0 et a_1 à minimiser. Reviens si tu bloques qq part.

Fred.