Forum de mathématiques - Bibm@th.net

romu

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algèbre linéaire [Résolu]

Bonjour,

j'ai un souci avec cet exo:

Soient [tex]E[/tex] un espace vectoriel sur [tex]\mathbb{R}[/tex] de dimension infinie, et [tex]f\in \textrm{End}(E)[/tex].

Montrer que si [tex]f[/tex] admet un inverse à gauche mais pas d'inverse à droite (autrement dit [tex]f[/tex] est injective mais non surjective) alors [tex]f[/tex] admet une infinité d'inverses à gauche.

Je ne vois pas vraiment comment attaquer ce problème.

Merci pour vos indications.

Fred

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Re : algèbre linéaire [Résolu]

Bonjour,

  Tu considères S un supplémentaire de l'image de f.
Alors, un inverse à gauche de f (notons le g) est complètement déterminé sur Im(f).
On a nécessairement g(f(x))=x.
En revanche, sur S, on n'a pas de contraintes sur g.
Comme S n'est pas réduit à {0}, il y a une infinité d'applications linéaires de
S dans E. Donc en particulier une infinité d'inverses à gauche.

C'est clair?

Fred.

romu

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Re : algèbre linéaire [Résolu]

Beaucoup plus clair, merci Fred :)