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cléopatre

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Séries et suites [Résolu]

Bonjour à tous et à toutes !

Je usi en train de bosser mon cours et le prof nous donne des résultats en disant que les démos sont triviales et j'aimerais bien les avoir..

Par exemple, suite de cauchy implique suite converge (dans l'autre c'est effectivement triviale)
Ou encore, toute partie A non vide de R et majorée possède une borne sup.

Merci d'avance à vous et à très bientot

Bises de Cléo

Fred

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Messages : 7 348

Re : Séries et suites [Résolu]

Salut,

   C'est parce que tu es en deuxième année que tout est trivial!

*pour ta première question, tu dis :
1. qu'une suite de Cauchy est bornée (facile).
2. que toute suite bornée admet une sous-suite qui converge (théorème de Bolzano-Weiersttass).
3. on considère L tel que une sous-suite  [tex](u_{\phi(n)})[/tex] converge vers L et on prouve que [tex](u_n)[/tex] converge vers L.
Pour cela, on fixe [tex]\epsilon>0[/tex]. On sait qu'il existe un entier p tel que, pour n,m supérieurs à p :
[tex]|u_n-u_m|<\epsilon[/tex]
(suite de Cauchy).

On sait ensuite qu'il existe q tel que, pour tout [tex]n\geq q[/tex], on a [tex]|u_{\phi(n)}-L|<\epsilon[/tex].
Et on conclut à l'aide de l'inégalité triangulaire. On choisit un entier [tex]m\geq q[/tex] tel que [tex]\phi(m)\geq p[/tex].
Pour [tex]n\geq \phi(m)[/tex], on a
[tex]|u_n-L|\leq |u_n-u_{\phi(m)}|+|u_{\phi(m)}-L|<2\epsilon[/tex].

*pour ta deuxième question, le prof triche un petit peu, mais passons...
Soit A ton ensemble borné, non vide. Soit [tex]a_0[/tex] un élément de A, et
[tex]b_0[/tex] un majorant de A. Par récurrence, on construit deux suites
[tex](a_n)[/tex] et [tex](b_n)[/tex] telles que
a. [tex]|b_n-a_n|<|b_0-a_0|/2^n.
b. [tex]a_n[/tex] est élément de A, [tex](a_n)[/tex] est croissante.
c. [tex]b_n[/tex] est élément de B, [tex](b_n)[/tex] est décroissante.
(pour passer du rang n au rang n+1, considère [tex](a_n+b_n)/2[/tex],
et discute suivant que c'est un majorant de A ou non).
Les suites [tex](a_n)[/tex] et [tex](b_n)[/tex] sont adjacentes, elles convergent
vers une limite M.
Je te laisse prouver que M est la borne supérieure recherchée.

A+
Fred.