partie entière[Résolu]

tibo · 03-09-2008 16:03:38

Bonjour à tous et bonne rentrée

Pour s'echauffer après ces deux mois d'hibernation, un petit exercice qui me parait très simple, mais que je n'arrive pas. Ne m'en voulez pas c'est la rentrée... :

[tex]A\ quelles\ conditions\ a \in \mathbb{R}\ verifie-t-il\ \forall x \in \mathbb{R},\ E(ax) \ge aE(x)?[/tex]

Dernière modification par tibo (03-09-2008 16:05:28)

yoshi · 05-09-2008 18:18:15

Bonsoir Tibo,

Je commence à réfléchir à ton truc...
Déjà :
[tex]\forall x\,\in\,\mathbb{R},\,E(x)\,\le\,x[/tex].

Et donc si a > 0 :
[tex]\forall x\,\in\,\mathbb{R},\,aE(x)\,\le\,ax[/tex]
et si a < 0 :
[tex]\forall x\,\in\,\mathbb{R},\,aE(x)\,\ge\,ax[/tex]

Après, je pense qu'il faut distinguer les cas où [tex]a(x\,-\,E(x))\,<\,1[/tex] et [tex]a(x\,-\,E(x))\,\ge\,1[/tex]
J'extrais la partie décimale du nombre x parce que :
4*E(1,24) = 4 et E(4*1,24) = 4,
mais
4*E(1,25) = 4 et E(4*1,25) = 5.

Je ne sais pas bien où ça va me mener (je marche au radar), mais ça me mènera bien quelque part...

Je reposte si j'arrive au bout...

@+

tibo · 05-09-2008 20:30:51

J'ai conjecturé que a devait appartenir à N
reste à le prouver

JJ · 06-09-2008 05:53:45

Bonjour,

il y a une difficulté d'affichage de la question posée par tibo, #1 03-09-2008 17:03:38
(la partie droite de l'écriture Latex est illisible)

yoshi · 06-09-2008 06:32:08

Bonjour JJ,

Moi, je n'ai aucun problème avec Firefox et j'ai essayé avec
IE6 et Opera 9.52 : aucun pb non plus.
Pour l'affichage Latex, nous dépendons d'un serveur externe, lequel est parfois capricieux : ce qui est vrai à un instant donné, ne l'est souvent plus 5 à 10 min plus tard....

Est-ce toujours vrai chez toi maintenant ?

@+

[EDIT]
Je réécris sa question :
A quelles conditions, [tex]a\,\in\,\mathbb{R}[/tex], a-t-on : [tex]\forall x\,\in\,\mathbb{R},\,E(ax)\,\ge\,aE(x)[/tex] ?

Dernière modification par yoshi (06-09-2008 06:37:34)

JJ · 07-09-2008 08:33:28

Bonjour yoshi,
Oui, le défaut d'affichage reste le même pour le premier message de tibo.
Par contre, l'expression que tu as ré-écrite semble complète. Merci.

JJ · 07-09-2008 10:58:29

Bonjour,

Voici la preuve dans le cas a>1 :
(avec la notation >= pour plus grand ou égal)
Posons n = E(a) et c = a-E(a)
donc a = n+c avec 0 <= c < 1
Donnons nous h tel que 0 < h < (1-c)/a donc 0 < h < 1
Soit X = 1+h
E(X) = E(1+h) = 1 donc aE(X) = a
aX = a(1+h) = a+ah
ah < (1-c) donc aX < a+(1-c) = a+1-(a-n) = 1+n = 1+E(a)
aX < 1+E(a)
E(aX) <= E(a) car 1+E(a) est entier et aX est plus petit que cet entier.
La condition E(ax) >= aE(x) devant être vraie quel que soit x, elle doit être vraie pour x=X donc :
E(aX) >= aE(X)
et on a vu que aE(X)=a donc E(aX) >= a
On a aussi vu que E(aX) <= E(a) donc
a <= E(aX) <= E(a)
a <= E(a) n'est possible que dans le cas de l'égalité. Doc a doit être entier.
Dans le cas 0<a<1 , en prenant h < 1-c on montre que la condition n'est pas vérifiée.
Je n'ai pas étudié les cas a<0, mais cela doit pouvoir se faire avec la même méthode. A priori, je pense qu'il n'y a pas de solution.

tibo · 07-09-2008 17:52:48

Bonjour,
c'est bon j'ai trouvé, (beaucoup plus simple, mais j'ai été aidé)

Montrons que [tex]\forall\ x\in\ \mathbb{R} ,\ E(ax) \ge aE(x)[/tex]

Si la propriété est vrai quelque soit x, elle doit l'être pour x=1
On a donc pour x=1, E(a)[tex]\ge[/tex]a
Donc [tex]a\ \in\ \mathbb{Z}[/tex]

Raisonons maintenant par l'absurde:
Supposons [tex]a\ \in\ \mathbb{Z}^-*[/tex]
Si x=1/2
alors ax=a/2<0
Donc E(ax)[tex]\le[/tex]-1
Et aE(x)=0
Donc a ne convient pas
Donc a entier naturel

Merci à tous de votre aide

(il faut m'expliquer pourquoi il y a un [tex]\ge[/tex] qui apparait en bleu)

Dernière modification par tibo (07-09-2008 17:57:29)

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