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marlene06

Invité

Algèbre: relation d'ordre

Salut!
j'ai un petit problème en maths, est-ce que quelqu'un pourrai m'aider, svp.

dire si les relations suivantes sont des relations d'ordre et lesquelles sont des relations d'ordre totales.

b) dans Z: xRy équivaut à il existe k appartenant à Z tel que y=kx
c) dans lN: xRy équivaut à il existe k appartenant à N tel que y=kx

je sais que pour montrer que c'est une relation d'ordre, il faut montrer que R est réflexive, antysymétrique et transitive.

Dans les 2 cas:
-  R est réflexive ( il suffit de prendre k=1)
- R est transitive:
      y=kx et z=k'y
     ->  z= kk'y
Mais je n'arrive pas a prouver si elles sont antisymétrique.
De même, pour savoir si c'est des relations d'ordre totale.

Merci d'avance.

J2L2

Invité

Re : Algèbre: relation d'ordre

si rRy et yRx, on a x=ky et y=k'x donc x=kk'x donc pour x non nul, on doit avoir kk'=1. Or, le seul élément inversible dans N est 1, donc x=y et R est bien antisymétrique. Par contre, R n'est pas antisym dans Z puisque on peut avoir k=k'=-1 et donc x=-y et pas nécessairement x=y.

R n'est pas un ordre total puisque par exemple 3 et 5 ne sont pas comparables : aucun n'est multiple de l'autre !

marlene06

Invité

Re : Algèbre: relation d'ordre

Merci beaucoup