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Terahi

Invité

paramétrisation [Résolu]

voici ma question
soit D={ (x,y), 1 <= x²+y²<= 9}

donner une paramétrisation du bord de D dans le sens direct

merci de me répondre

john

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Re : paramétrisation [Résolu]

Re-salut,
Si la question est :
Dans quel sens doit-on tourner sur le cercle intérieur ?
La réponse est :
On doit tourner en sens inverse du sens trigo.
A+

vbnul

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Re : paramétrisation [Résolu]

Sens direct ou sens indirect, ca n'a aucune importance.

Si tu as compris que $x^2+y^2$ représente la distance du point (x,y) au centre, tu en déduis facilement que le bord de D est un cercle.
Ensuite la paramétrisation d'un cercle...

Terahi

Invité

Re : paramétrisation [Résolu]

merci pour vos réponse
je pense que la deuxième réponse me semble plus corretce
parce que dans mon cours on ne précise pas la différence entre sens directe et indirecte
en ce qui concerne la paramétrisation....
oui j'imagine bien que c'est la paramétrisation d'un cercle...
est ce  correcte de mettre:
x(t)= cosB et y(t)= sin(B)
tel que  0<= t<= 2 pi   ?

yoshi

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Re : paramétrisation [Résolu]

Bonsoir,

Les coordonnées paramétriques d'un point M(x ; y) d'un cercle de centre O  et de rayon R dans un repère (O, I, J) sont :
[tex]\left{x= R.Cos\theta\\y = R.Sin\theta[/tex]
où
[tex]\theta=(\vec{OM},\vec{OI})[/tex]
L'équation cartésienne du cercle étant dans ce cas x²+y²=R²
D'accord, j'ai vérifié, le sens n'est pas précisé, mais je rejoins John, pour moi, il est sous-entendu (cf le cours sur les complexes) qu'en Trigonométrie, on utilise le sens trigonométrique, même si en utilisant l'autre sens, en traçant point à point on retrouve le même cercle...

Maintenant, peut-être que le grand Barbichu , de passage, pourrait trancher...

@+

PS Avec ta notation, c'est plutôt :
[tex]\left{x(\theta)= R.Cos\theta\\y(\theta) = R.Sin\theta[/tex]
Pourquoi limiter à [0 ; 2pi] ?

john

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Re : paramétrisation [Résolu]

Bonsoir yoshi,
Juste pour t'ôter d'un doute qui va te faire passer une mauvaise nuit...
La question du problème c'est :

"Donner une paramétrisation du bord de D dans le sens DIRECT".

Et là, yapafoto sur la réponse :
Lorsque ton paramètre croît, le cercle extérieur doit être décrit dans le sens direct (c-à-d dans le sens trigo.).

Le problème ici, c'est que D n'a pas pour bord que le cercle extérieur. Il y a aussi le cercle intérieur. Et aussi curieux que cela puisse te paraître, pour décrire le contour de D dans le sens direct, il faut parcourir le cercle intérieur dans le sens inverse du sens trigo. (le domaine D doit rester sur ta gauche lorsque tu parcours le bord de D).

Il y a une autre subtilité dans ce problème mais bon... J'ai posé une question à Terahi (ce n'est d'ailleurs pas la 1ère fois) et j'attends toujours la réponse.

A+

Bon, encore une petite précision : On se limite à 0.. 2Pi pour ne décrire qu'une seule fois le bord de D. Ces paramétrages sont en effet utilisés en analyse vectorielle lorsqu'on doit intégrer sur le bord d'un domaine (voir Ostrogradsky, Gauss etc) ou encore lorsqu'on aborde les fonctions de variables complexes (Th. des résidus...)..

J'ajoute que "paramétrisation" n'est pas dans mon dico. Mais au train où vont les choses, ça ne m'étonnerait pas beaucoup qu'on nous demande sous peu comment paramétrisationner je ne sais quoi.

Dernière modification par john (02-06-2008 12:47:28)

Terahi

Invité

Re : paramétrisation [Résolu]

voici la réponse de m prof de cette matière

Bonjour,

Il s'agit d'une "couronne". Deux cercle concentriques l'un de rayon 1 et l'autre de rayon 3. Le bord de D est donc la réunion de la paramétrisation des deux cercles. (Paramétrisation d'un cercle de rayon r: x(t)=rcos(t) et y(t)=rsin(t) ). Il faut juste faire attention au sens de la paramétrisation des deux cercles. On sait qu'on est dans le sens direct lorsque quand on parcourt le bord, la surface se trouve à notre gauche. Donc le cercle extérieur de rayon 3 est orienté dans le sens trigonométrique. Par contre, pour le cercle intérieur de rayon 1, il sera orienté dans le sens contraire au sens trigonométrique.

En espérant avoir répondu à ta question,
Cordialement,
Claire Coiffard

yoshi

Modo Ferox

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Re : paramétrisation [Résolu]

Bonsoir,

Arf ! J'avais zappé le 1 <=x²+y² pour ne voir que le x²+y²<=9...
Voilà pourquoi je ne ne comprenais pas la remarque de John sur le bord extérieur et le bord intérieur...
Pan sur les doigts !
Réponse donnée éclairante...

@+

john

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Re : paramétrisation [Résolu]

Bonsoir,

yoshi console toi : si tu relis ce fil, tu verras que tu n'étais pas le seul à avoir zappé le cercle intérieur...

Terahi : je me suis sans doute mal exprimé. Ma question ne portait pas sur le problème en lui-même. Je m'interrogeais simplement sur tes difficultés face à ce problème.
Notre rôle ici, c'est de t'aider et non pas de te donner la solution. Alors si tu te contentes de poster un énoncé sans préciser ce qui te gènes, comment veux-tu qu'on t'aide ?

A+

Terahi

Invité

Re : paramétrisation [Résolu]

merci  john & yoshi pour votre aide
c'est vrai que je n'ai pas précisé mes déficultés sur le problème parce que j'étais un peut presser par le temps
j'avais mon examen pour lundi le 2 juin donc je voulais avoir la réponse exacte...
je vous promet que la prochaine fois je serais plus attentif et désolé aussi pour ceux qui m'ont posé des questions et je n'ai pas pu répondre

merci à vous deux et a tres vite pour d'autres question

vbnul

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Re : paramétrisation [Résolu]

Ah ok, donc la réponse est :
x=3cos(t)
y=3sin(t)
union
x=cos(t)
y=-sin(t)
En remplacant t par -t pour le cercle de rayon 1 (sens inverse du sens trigo)

john

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Re : paramétrisation [Résolu]

Salut vbnul,

C'est bon tu y es presque et c'est bien que tu sois revenu car je parlais plus haut d'une autre subtilité... (à zapper si tu es encore en terminale).
Pour se placer dans les conditions d'application de certains théorèmes, il faut parfois intégrer sur un contour fermé (c-à-d un contour que l'on peut parcourir en revenant au point de départ sans lever le crayon). Si on se limite aux deux cercles, le contour de D n'est évidemment pas fermé et le paramétrage donné ci-dessus reste incomplet.
Pour compléter ce paramétrage, on fait alors une "coupure" dans D, qui consiste simplement à ajouter un chemin reliant les 2 cercles (ce sera par exemple le segment de l'axe des x>0 compris entre les 2 cercles). Ce chemin sera parcouru une fois dans un sens et une fois dans l'autre sens, permettant ainsi de faire le tour de D sans lever le crayon et tout en ayant tjs D sur sa gauche. D'où le paramétrage complet que je te laisse le soin de formuler.
Voilà j'arrête d'étaler...
A+

Dernière modification par john (03-06-2008 09:46:52)

vbnul

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Re : paramétrisation [Résolu]

Dans ce cas je rajouterai :
x=a, entre 1 et 3
y=0

Tu parles sans doute du théorème de Stockes, je l'ai survolé en prépa mais je ne saurai pas l'appliquer.
De mémoire on y intègre une fonction sur un bord, l'intégrale est alors égale à une autre appliquée à la surface délimitée par le bord.

Mais c'est loin et compliqué tout ca :/

john

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Re : paramétrisation [Résolu]

Salut vbnul,
Heu... pardon je pensais que tu étais encore à user ton froc sur les bancs de l'école en jouant les majorettes avec ton stylo...
A+

Terahi

Invité

Re : paramétrisation [Résolu]

bonjour à tous..
je reviens juste pour dire à john que je ne suis pas en terminal mais plutot en L2 mathématique
merci à tous de votre aide
j'ai bien réussi mon examens sur les fonctions à plusieurs variables
a+

Barbichu

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Re : paramétrisation [Résolu]

Bonjour à tous les intervenants,
j'aurais deux remarques, mais avant, nommons les objets déjà construits.
On notera
[tex]\gamma_i\; :\; t \in [0,2\Pi] \mapsto (\cos t,-\sin t)[/tex]
[tex]\gamma_e\; :\; t \in [0,2\Pi] \mapsto (3\cos t,3\sin t)[/tex]
[tex]\gamma_a\; :\; t \in [0,2] \mapsto (1+t,0)[/tex] (ce dernier provenant du message de vbnul)

et etant donné deux chemins [tex]\gamma_1[/tex] (de domaine [0,T_1]) et [tex]\gamma_2[/tex] (de domaine [0,T_2]), on notera
(a) [tex]\gamma = \gamma_1 + \gamma_2[/tex] leur "réunion de façon intelligente"
(NB : formellement définie par [tex]\gamma\; :\;t \in [0,T_1+T_2] \mapsto \left{ \begin{matrix}\gamma_1(t),&\text{si } t \in [0,T_1] \\ \gamma_2(t - T_1),&\text{si } t \in ]T_1,T_1+T_2] \\ \end{matrix}[/tex])
(b) [tex]- \gamma_1 \; :\; t \in [0,T_1] \mapsto \gamma_1(T_1 - t)[/tex]

et enfin, mes remarques
1/ Sur la réponse de vbnul, je ne suis pas d'accord : [tex]\gamma_i + \gamma_a + \gamma_e[/tex] ne constitue pas un lacet !
En effet il part de (1,0) et arrive en (3,0).

Il manque le boût de chemin : [tex]\gamma_b = -\gamma_a\; :\; t \in [0,2] \mapsto (3-t,0)[/tex]
[tex]\gamma_1 = \gamma_i + \gamma_a + \gamma_e + \gamma_b[/tex] est par contre un lacet *continu* paramètrisant le bord ðD de D

2/ le chemin discontinu [tex]\gamma_2 = \gamma_i + \gamma_e[/tex] paramètrise bien un contour *fermé* (puisqu'il s'agit d'un bord)
Et sauf erreur de ma part, on constate que
[tex]\forall f \text{ convenable} \; ,\;\int_{\gamma_1}f = \int_{\gamma_i + \gamma_a + \gamma_e + \gamma_b}f[/tex]
                                        [tex]= \int_{\gamma_i}f + \int_{\gamma_a}f + \int_{\gamma_e}f + \int_{\gamma_b}f[/tex]
                                        [tex]= \int_{\gamma_2}f + \int_{\gamma_a}f + \int_{-\gamma_a}f[/tex]
Mais [tex]\int_{\gamma_a}f = -\int_{-\gamma_a}f[/tex] (il suffit de faire le calcul pour ceux qui n'en sont pas sûrs)
D'ou [tex]\int_{\gamma_1}f = \int_{\gamma_2}f[/tex]

Autrement dit, il revient au même d'integrer sur le lacet que sur le chemin discontinu.
Sauf erreur de ma part.

++

Dernière modification par Barbichu (04-06-2008 11:55:27)

Terahi

Invité

Re : paramétrisation [Résolu]

tu m'épates barbichou
là t'as sorti le grand jeu

john

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Re : paramétrisation [Résolu]

Salut Terahi et tous,

Ne te laisse pas impressionner par latex, il n'y a rien de plus que ce que nous avons dit plus haut. Sauf peut-être que somme de a à b ... = - somme de b à a ... que tu dois savoir depuis longtemps. Je n'ai pas osé l'écrire pour ne blesser personne (mdr !!!).
Je vois que tu es en L2 et que tu vas bientôt arriver à me coller. Mais rassure-toi, il reste encore des gros calibres sur ce site, Barbichu et Fred entre autres, pour t'accompagner encore quelques années. D'ailleurs à ta place, je n'hésiterais pas à m'inscrire, c'est de l'investiment pour le long terme et on a toujours intérêt à être connu.
A+

vbnul

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Re : paramétrisation [Résolu]

lol, bien joué Barbichu ! :)
Je me doute qu'il y a moyen de généraliser ce raisonnement, mais là sa volerait trop haut pour moi.

Terahi, l'important c'est d'apprécier les mathématiques (et de participer au forum de bibmath aussi ^^).

Edit : Ah, et ce genre de problème d'intégration se comprend bcp mieux avec un dessin (ici un cercle à l'intérieur d'un autre avec un "double" trait reliant les 2).

Dernière modification par vbnul (04-06-2008 19:16:29)