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Antoine

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Complexes : petite démonstration [Résolu]

Bonjour,

Je n'arrive à retrouver comment on démontre que :
|z1+z2|<|z1|+|z2| où z1 et z2 sont complexes.

En vous remerciant de votre aide

galdinx

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Re : Complexes : petite démonstration [Résolu]

Bonjour,

Je connais le théorème, et je le sais d'autant plus vrai que l'on retrouve ici la propriété d'existence des triangles (la longueur d'un coté inférieure à la somme des longueur des 2 autres).

Cependant, en refaisant la démonstration, j'arrive au résultat inverse -_-''.

Je t'expose mon raisonnement, si toi ou qn d'autre trouve mon erreur, cela répondra surement a ta question et le miens par la même.

0 < |z1+z2| et 0 < |z1| + |z2| donc le problème est équivalent a démontrer que

|z1+z2|² < (|z1| + |z2|)²

je cherche donc (|z1| + |z2|)² - |z1+z2|²

(|z1| + |z2|)² - |z1+z2|² = |z1|² + |z2|² + 2|z1|.|z2| - (z1+z2).conj(z1+z2)
                                     = |z1|² + |z2|² + 2|z1|.|z2| - (z1+z2).(conj(z1)+conj(z2))
                                     = |z1|² + |z2|² + 2|z1|.|z2| - z1.conj(z1) - z2.conj(z2) - z1.conj(z2) - z2.conj(z1)
                                     = |z1|² + |z2|² + 2|z1|.|z2| - |z1|² + |z2|² - z1.conj(z2) - z2.conj(z1)
                                     = 2|z1|.|z2| - z1.conj(z2) - z2.conj(z1)
                                     = 2.sqrt(z1.conj(z1)).sqrt(z2.conj(z2)) - z1.conj(z2) - z2.conj(z1)
                                     = 2.sqrt(z1.conj(z1).z2.conj(z2)) - z1.conj(z2) - z2.conj(z1)
                                     = 2.sqrt(z1.conj(z2)).sqrt(z1.conj(z2)) - z1.conj(z2) - z2.conj(z1)
                                     = - (sqrt(z1.conj(z2)) - sqrt(z2.conj(z1)))²
(|z1| + |z2|)² - |z1+z2|² < 0

donc |z1+z2|² > (|z1| + |z2|)²
donc |z1+z2| > |z1| + |z2|

donc voila mon problème.

Si qn voit l'erreur, cela devrait éclairer aussi bien Antoine que moi.

A++

Barbichu

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Re : Complexes : petite démonstration [Résolu]

Hello,
sqrt(z1.conj(z2)) n'a pas de sens. Et si on lui en donnait un, en disant une racine carrée complexe de z1.conj(z2), (sqrt(z1.conj(z2)) - sqrt(z2.conj(z1)))² n'aurait alors aucune raison d'être un reél positif.

Tu peux continuer par la même méthode, en reprenant le calcul juste avant l'apparition du sqrt, on a:
    = 2|z1|.|z2| - z1.conj(z2) - z2.conj(z1)
    = 2|z1||z2| - 2.Re(z1.conj(z2))
    = 2 (|z1||conj(z2)| - Re(z1.conj(z2)))
    = 2 (|z1.conj(z2)| - Re(z1.conj(z2)))

il suffit donc de comparer |a| et Re(a) pour tout complexe
Mais |a|² = Re(a)² + Im(a)² >= Re(a)², d'où |a|>=Re(a)
et (|z1| + |z2|)² - |z1+z2|² >= 0
d'où |z1+z2|² <= (|z1| + |z2|)²
et |z1+z2| <= |z1| + |z2|

++

PS : étude du cas d'égalité

On a  égalité si |z1.conj(z2)| - Re(z1.conj(z2)) = 0
c'est à dire Im(z1.conj(z2)) = 0 et  Re(z1.conj(z2)) > 0 (on isole le cas z1 = 0 ou z2 = 0 qui est trivial et gênant)
C'est à dire arg(z1.conj(z2)) = 0 ou encore arg(z1) - arg(z2) = 0 ie arg(z1) = arg(z2).
Ce qui signifie que z1 et z2 sont positivement liées.

La réciproque est triviale : z1 et z2 sont positivement liées => |z1+z2| = |z1|+|z2|

Donc on a le cas d'égalité ssi z1 et z2 sont positivement liés

Dernière modification par Barbichu (21-04-2008 15:56:39)

galdinx

Modo gentil

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Re : Complexes : petite démonstration [Résolu]

Re,

et merci Barbichu, j'ai effectivement fait un peu n'importe quoi avec cette racine complexe...

J'espère qu'Antoine se satisfera des réponses.

++

Antoine

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Re : Complexes : petite démonstration [Résolu]

Je vous remercie pour votre aide