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mermichel

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Rectangle dans cercle

Bonjour à tous,
Je soumets à votre sagacité un problème que je me suis créé (pour le plaisir...).
Dans un repère orthonormé :
- soit un cercle de centre (x0, y0) et de rayon r
- sur ce cercle un point A (xA, yA) fixe.
- un deuxième point B (xB, yB) se déplace sur le cercle.
On construit la corde AB à partir de laquelle on peut donc générer un rectangle ABCD inscrit dans le cercle.
On pourra donc ainsi calculer l’aire du rectangle avec la corde AB, le diamètre du cercle et Pythagore !
But : trouver la formule de l’aire du rectangle en fonction de l’abscisse xB du point B.
Longueur corde = racine ((yB-yA)²_(xB-xA)²)
Dans cette formule, on connaît xA, yA et xB.  yB est à calculer.
J’ai trouvé son équation (de la forme : ax² + bx +c)
où a = 1        b = -2 y0           c = y0² + xA² – 2 xA.x0 + x0² – r²   sauf erreur !

C’est ici que le bât me blesse : réemployer cette expression dans la formule de l’aire du rectangle me paraît un exercice alambiqué et source d’erreurs.
Si quelqu’un a une solution, je lui adresse un grand merci d’avance.
Mermichel

Black Jack

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Re : Rectangle dans cercle

Bonjour,

Je m'arrête à la question "On pourra donc ainsi calculer l’aire du rectangle avec la corde AB, le diamètre du cercle et Pythagore !"  . Toute la suite ne fait que compliquer les choses et n'apporte rien. 

On trouve $S = AB * \sqrt{4r^2-AB^2}$

Cela c'est immédiat.

Dernière modification par Black Jack (15-03-2026 17:33:57)

verdurin

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Re : Rectangle dans cercle

Bonsoir,
on peut remarquer que l’abscisse de B ne suffit pas pour déterminer l'aire du rectangle. Sauf si la droite (OA) est parallèle à un des axes de coordonnées.

Black Jack

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Re : Rectangle dans cercle

Bonsoir,
on peut remarquer que l’abscisse de B ne suffit pas pour déterminer l'aire du rectangle. Sauf si la droite (OA) est parallèle à un des axes de coordonnées.

Bonjour,

Il suffit de bien choisir le repère (qui n'est pas imposé par l'énoncé)).
Rien n'empêche dans l'énoncé de choisir le centre du cercle comme origine du repère orthonormé et de  mettre le point A sur cet axe (on a alors A(0;R)

Comme l'angle AMB est droit, avec M sur le cercle, le point B est diamétralement opposé au point A.

Et on arrive de suite à la relation que j'ai donnée.

verdurin

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Re : Rectangle dans cercle

Salut Black Jack,
le repère est imposé par l'énoncé

Dans un repère orthonormé :
- soit un cercle de centre (x0, y0) et de rayon r
- sur ce cercle un point A (xA, yA) fixe.
- un deuxième point B (xB, yB) se déplace sur le cercle.

Sinon je suis bien entendu d'accord avec ton résultat.

Black Jack

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Re : Rectangle dans cercle

Salut Black Jack,
le repère est imposé par l'énoncé

Dans un repère orthonormé :
- soit un cercle de centre (x0, y0) et de rayon r
- sur ce cercle un point A (xA, yA) fixe.
- un deuxième point B (xB, yB) se déplace sur le cercle.
Sinon je suis bien entendu d'accord avec ton résultat.

Bonjour,

Pas sûr qu'on ne puisse pas imposer xo = 0, yo = 0, xA = R, yA = 0

Sinon, on fait un changement de repère, mais c'est un peu une perte de temps.

verdurin

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Re : Rectangle dans cercle

On peut certainement changer l'énoncé.