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#1 27-01-2026 19:12:39
- DSBmath
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Un "deux"
Bonjour
En travaillant sur le sujet de Cailloux à propos des carrés inscrits dans quatre droites j'ai trouvé ce petit résultat que je trouve sympathique
Ma démonstration de ce petit résultat est longue et je l'effectue avec de la trigonométrie et des barycentres
ça ne marche pas si les cercles ne sont pas de rayon 1 et de plus la valeur de cette équation n'est plus constante dans tout autre cas
Sur ce je continue sur son sujet
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#2 27-01-2026 21:46:34
- Rescassol
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Re : Un "deux"
Bonsoir,
% DSBmath - 27 Janvier 2026 - Un "deux"
clc, clear all
syms u v
uB=1/u; vB=1/v; % Deux complexes de module 1
% Le suffixe B signifie "conjugué"
syms b real
%-----------------------------------------------------------------------
% Ca est le cercle unitaire de centre a1=0 et de rayon 1
% Cb est le cercle unitaire de centre b1=b et de rayon 1
% A2 est sur Ca et B2 est sur Cb
a1=0; a1B=0; b1=b; b1B=b;
a2=u; a2B=uB; b2=b+v; b2B=b+vB;
X=(b1-a1)*(b1B-a1B); Y=(b2-a2)*(b2B-a2B); % Carrés des distances
Z=(b2-a1)*(b2B-a1B); T=(b1-a2)*(b1B-a2B); % A1B1 etc...
A=X+Y+Z+T; B=X*T+X*Z+Y*Z+Y*T; C=2*X*Y+2*Z*T;
D=X^2*Y+X*Y^2+Z^2*T+Z*T^2; E=X*Y*Z+X*Y*T+X*Z*T+Y*Z*T;
DEUX=Factor(A-B+C-D+E) % On trouve DEUX=2 et c'est gagné
Cordialement,
Rescassol
Dernière modification par Rescassol (28-01-2026 15:20:36)
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#4 28-01-2026 14:32:46
- Rescassol
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Re : Un "deux"
Bonjour,
% Cas où les cercles sont de rayon R
syms R real
a1=0; a1B=0; b1=b; b1B=b;
a2=R*u; a2B=R*uB; b2=b+R*v; b2B=b+R*vB;
X=(b1-a1)*(b1B-a1B); Y=(b2-a2)*(b2B-a2B); % Carrés des distances
Z=(b2-a1)*(b2B-a1B); T=(b1-a2)*(b1B-a2B); % A1B1 etc...
A=X+Y+Z+T; B=X*T+X*Z+Y*Z+Y*T; C=2*X*Y+2*Z*T;
D=X^2*Y+X*Y^2+Z^2*T+Z*T^2; E=X*Y*Z+X*Y*T+X*Z*T+Y*Z*T;
DEUX=Factor(R^4*A-R^2*B+R^2*C-D+E) % On trouve DEUX=2*R^6
On trouve $2R^6$ qui est indépendant de la distance des centres $b$.
Cordialement
Rescassol
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#5 28-01-2026 16:36:52
- DSBmath
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Re : Un "deux"
Bonjour Rescassol
C'est bizarre car ce que j'ai c'est que si les rayons ne sont pas 1 alors la valeur va dépendre des positions des points A2 et B2 sur les cercles
Dernière modification par DSBmath (28-01-2026 16:38:31)
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#7 28-01-2026 21:04:24
- gebrane
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Re : Un "deux"
Bonjour,
Sauf erreur, Je trouve que la somme est ( avec $d$ la distance entre les centres des deux cercles)
$$ R_1^2 R_2^2 (R_1^2 + R_2^2) + (R_2^2 - R_1^2) \cdot \left[ 2 d^2 + R_1^2 + R_2^2 - (A_2B_1^2 + A_1B_2^2) \right]$$
Cette formule donne donne le résultat de Rescassol quand $R_1=R_2$
Si $d=0$ ( les cercles ont le même centre), la somme devient $$\mathbf{ R_1^2 R_2^2 (R_1^2 + R_2^2)}$$ c'est magique, non?
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#9 29-01-2026 01:07:37
- DSBmath
- Membre
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Re : Un "deux"
Bonjour
Le calcul de Rescassol est différent
Là ci-dessous les deux cercles sont de même rayon 2
La valeur de l'équation est dépendante des positions des points A2 et B2 sur les cercles
et dépendante aussi de la distance A1B1 entre les centres de ces cercles
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