Forum de mathématiques - Bibm@th.net

bridgslam

Membre Expert

Lieu : Rospez

Inscription : 22-11-2011

Messages : 1 903

valeur absolue

Bonjour,

Un truc m'échappe:

Un exo d'un cours  définit une valeur absolue v sur un anneau A unitaire non nul comme étant  une application v vérifiant les mêmes propriétés que pour les réels.( rien d'exotique).
Dans ce même cours, un anneau intègre est défini comme non nul, sans diviseurs de 0, et commutatif.
Mais il demande de montrer que A est intègre si v existe.
Or si je considère un anneau non nul, unitaire, sans diviseurs de 0 , mais non commutatif, et v(0)=0 et v(x)=1 si x est non nul il me semble bien qu'il s'agit d'une valeur absolue non?

Je ne comprends pas.
Merci si on peut éclairer ma lanterne.

Michel Coste

Membre Expert

Inscription : 05-10-2018

Messages : 1 464

Re : valeur absolue

Bonjour,

Un exo d'un cours  définit une valeur absolue v sur un anneau A unitaire non nul comme étant  une application v vérifiant les mêmes propriétés que pour les réels.( rien d'exotique).

Peux-tu tout de même préciser la définition donnée, bien qu'elle n'ait "rien d'exotique" ?

bridgslam

Membre Expert

Lieu : Rospez

Inscription : 22-11-2011

Messages : 1 903

Re : valeur absolue

Bonjour,

v est une application  $A \rightarrow \mathbb{R}_+$ telle que

- $v(x) = 0 <=> x =0$
- $v(xy) = v(x)v(y)$  pour tous $x$,$y$ dans A
- $v(x+y) \le v(x) + v(y)$  pour tous $x$,$y$ dans A

Alain

Michel Coste

Membre Expert

Inscription : 05-10-2018

Messages : 1 464

Re : valeur absolue

Bonjour,
Au delà de la valeur absolue triviale que tu cites, on peut aussi penser à la norme des quaternions : l'existence d'une valeur absolue au sens de cette définition n'entraîne pas la commutativité.

Dernière modification par Michel Coste (22-10-2025 08:49:44)

bridgslam

Membre Expert

Lieu : Rospez

Inscription : 22-11-2011

Messages : 1 903

Re : valeur absolue

Bonjour,

OK merci

A.