Forum de mathématiques - Bibm@th.net

mouette

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Preuve inhabituelle de P(U) inclus dans U

Bonjour, je suis retombé sur un exo classique de maths sup récemment :

Quels sont les polynomes de C[X] qui laissent le cercle unité stable ?

Je sais que la méthode "classique" consiste à observer [tex]z^n \cdot \overline{P(z)}[/tex], mais j'ai eu une autre idée dont je ne suis pas sur qu'elle fonctionne.

Je montre d'abord que les polynomes de [tex]\mathbb{R}[X][/tex] qui laissent U stable sont les monomes. Pour cela je m'en donne un, je l'évalue en suffisamment de points du cercle pour trouver une contradiction grace à l'inégalité triangulaire si ce n'est pas un monome.

Puis je considere un polynome [tex]P [/tex] à coefficients complexes qui laisse U stable. On voit bien que [tex]P \overline{P}[/tex] laisse U stable car  [tex]P(z) \overline{P(z)} = 1[/tex] si z est dans U. De plus [tex]P \overline{P}[/tex] est réel car à valeurs réelles par lagrange, et donc c'est un monome grâce à mon lemme précédent.

Ensuite il ne reste plus qu'à montrer que [tex]P \overline{P}[/tex] ne peut pas être un monome si [tex]P[/tex] ne l'est pas ce qui est facile, et on conclut.

Est ce que cela vous parait cohérent ou bien j'ai fait une erreur ? J'ai peu détaillé mais je peux expliquer certaines étapes si besoin

bridgslam

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Re : Preuve inhabituelle de P(U) inclus dans U

Bonjour,

Il serait intéressant de détailler le lemme de départ, relativement flou, ou en tout cas qui n'est pas forcément plus simple qu'en restant dans un contexte complexe, et qui se fait en deux lignes grâce au polynôme réciproque.
A cette heure, autrement dit, aucune crédibilité, faute de précisions ( promises par le posteur ).

A.

Dernière modification par bridgslam (16-07-2025 10:28:14)