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Taguimdjeu

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Problème - arithmétique

Bonjour les amis.
Je vous propose un petit problème d'arithmétique :

Un nombre entier naturel N est tel que :
1. [tex]N<1000 [/tex]
2. [tex] N \equiv 1\, mod2[/tex]
3. [tex] N \equiv 2\, mod3[/tex]
4. [tex] N \equiv 3\, mod4[/tex]
5. [tex] N \equiv 4\, mod5[/tex]
6. [tex] N \equiv 5\, mod6[/tex]
7. [tex] N \equiv 0\, mod7[/tex]

Quelles sont les valeurs possibles de N?

▼indications

On a [tex] N \equiv -1\, mod(PPCM(2,3,4,5,6)) \\
Et \, N \equiv 0\, mod7 \, ...[/tex]

Dernière modification par Taguimdjeu (05-07-2025 12:31:12)

Michel Coste

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Re : Problème - arithmétique

Bonjour,
Il y a cinq entiers naturels plus petits que 1000 qui satisfont les équations modulaires.

Bernard-maths

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Re : Problème - arithmétique

Bonjour à tous !

Moi j'en trouve 3, avec Excel ?

B-m

Rescassol

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Re : Problème - arithmétique

Bonjour,

D'après Python, il y en a trois: $119,539,959$.

Cordialement,
Rescassol

Bernard-maths

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Re : Problème - arithmétique

Les mêmes !

B-m

Dernière modification par Bernard-maths (05-07-2025 11:00:08)

Taguimdjeu

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Re : Problème - arithmétique

Il y a bien 3 valeurs possibles.
Mais je m'attendais plus à un calcul manuel.
Je mets la résolution ici :

▼La solution

[tex]
N \equiv -1\, mod2 \, ;\,N \equiv -1\, mod3 \\
N \equiv -1\, mod4 \, ;\, N \equiv -1\, mod5 \\
N \equiv -1\, mod6 \\
\Rightarrow N \equiv -1\, mod(PPCM(2,3,4,5,6)) \\
\Rightarrow N \equiv -1 \, mod60\\
\Rightarrow N=60k-1(k\, dans\, N)\\
Or \, N \equiv 0\, mod7 \\
\Rightarrow 60k-1 \equiv 0\, mod7 \\
\Rightarrow 4k \equiv 1\, mod7 \\
\Rightarrow 8k \equiv 2\, mod7 \\
\Rightarrow k \equiv 2\, mod7
\Rightarrow k=7k'+2\\
\Rightarrow N=60(7k'+2)-1=420k'+119\\
Or\, N<1000 \Rightarrow 420k'+119<1000 \\
k'< 2,09 \Rightarrow k'=0\, ou \,k'=1 ou k'=2 \\
Pour \,k'=0, N=119; \\
Pour \,k'=1, N=539;\\
Pour \,k'=2, N=959.\\
[/tex]

Michel Coste

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Re : Problème - arithmétique

Exact, j'avais sauté le modulo 4 et j'étais donc parti sur congru à 29 modulo 30, alors que c'est congru à 59 modulo 60.