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anais546545646

Invité

integrale

Bonjour,
je me permets de vous demander de l'aide pour le calcul d'une intégrale.
J'ai besoin, dans le cadre d'un projet de physique, d'avoir une formule analytique (avec q en paramètre, la plus simple possible) pour l'intégrale suivante :
\[
\iint r^{2} \, e^{-\gamma r} \, e^{-i \theta} \, \sin\big(q r \cos(\theta)\big) \, d\theta \, dr
\]

(r de 0 à rmax et theta de 0 à 2pi)

en vous remerciant par avance,

Anaïs

Roro

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Re : integrale

Bonsoir,

Je ne suis pas convaincu qu'il y ait une expression explicite de la solution... As-tu vraiment besoin de cette solution ou souhaites-tu seulement avoir quelques informations particulières ?

Roro.

anais546545646

Invité

Re : integrale

Bonjour,

merci pour votre réponse,

j'ai besoin du résultat (et je dois ensuite le sommer sur q). Je souhaite donc approcher ce résultat le plus précisément possible (qr n'est pas négligeable)...

si vous avez quelques idées de techniques je suis preneuse :)

bonne journée

Anaïs

Roro

Membre expert

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Re : integrale

Bonsoir Anaïs,

Pour ma part, je n'ai pas d'idée du tout sur une expression explicite de cette intégrale. Si d'autres en ont...

Peut être qu'il faut remonter à la source de ce qui t'a conduit à cette question ?

Roro.

Taguimdjeu

Membre

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Re : integrale

Bonjour Anaïs !
Voici ma proposition:

[tex]
Si\,On \,pose\, A= \iint r^2 e^{-\gamma r} \sin(qr \cos\theta) e^{-i\theta} \, d\theta \, dr \\
A = \int_0^{r_{\text{max}}} r^2 e^{-\gamma r} \left( \int_0^{2\pi} \sin(qr \cos\theta) e^{-i\theta} \, d\theta \right) dr \\
on\, a \sin(qr \cos\theta)= \frac{e^{iqr \cos\theta} - e^{-iqr \cos\theta}}{2i} \\
Or \, e^{iz \cos\alpha} = \sum_{n=- \infty}^{\infty} i^n J_n (z) e^{in \alpha} \, ;\,(J_n (z) : fonction\, de \,Bessel\, d'ordre\, n) \\
\sin(qr \cos\theta) = \frac{1}{2i} (\sum_{n=-\infty}^{+\infty} i^n J_n(qr) e^{in\theta} -  \sum_{n=-\infty}^{+\infty} (-i)^n J_n(qr) e^{in\theta})\\
\sin(qr \cos\theta) = \frac{1}{2i} \sum_{n=-\infty}^{+\infty} (i^n-(-i)^n) J_n(qr) e^{in\theta}\\
\int_0^{2\pi} \sin(qr \cos\theta) e^{-i\theta} \, d\theta = \int_0^{2\pi} \frac{1}{2i} \left( \sum_{n=-\infty}^{+\infty} (i^n-(-i)^n) J_n(qr) e^{i\theta (n-1)} \right)  \, d\theta\\
\int_0^{2\pi} \sin(qr \cos\theta) e^{-i\theta} \, d\theta = \frac{1}{2i} \sum_{n=-\infty}^{+\infty} (i^n-(-i)^n) J_n(qr) \int_0^{2\pi} e^{i\theta (n-1)}\, d\theta \\
L'intégrale \int_0^{2\pi} e^{i\theta (n-1)}\, d\theta \, vaut\, 2 \pi \, si\, n=1 \\ et\, 0 \,sinon. \, prenons\, n=1\\
\int_0^{2\pi} \sin(qr \cos\theta) e^{-i\theta} \, d\theta = 2 \pi J_1 (qr)\\
A= 2 \pi \int_0^{r_{\text{max}}} r^2 e^{-\gamma r} J_1 (qr) \, dr\\
[/tex]

Je m'arrête là car impossible pour moi de trouver une formule analytique simple si  rmax est fini.
Mais dans le cas où rmax =∞ , je pense (après recherche) qu'on peut utiliser une formule de Gradshteyn & Ryzhik.

Bonne chance !

Dernière modification par Taguimdjeu (08-07-2025 02:09:25)

passant999

Invité

Re : integrale

En proposant l'intégrale à DeepSeek il arrive exactement au résultat proposé en expliquant que pour aller plus il faut utiliser des fonctions spéciales.

Taguimdjeu

Membre

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Re : integrale

En proposant l'intégrale à DeepSeek il arrive exactement au résultat proposé en expliquant que pour aller plus il faut utiliser des fonctions spéciales.

Après être arrivé là, ça devient compliqué d'aller plus loin sauf si rmax =∞. Au quel cas on peut utiliser la formule suivante :
[tex]
\int_0^\infty x^{\nu +1} e^{-\alpha x} J_\nu(\beta x) \, dx = \frac{(2 \alpha )\,(2 \beta)^\nu \, \Gamma( \nu + 3/2)}{\sqrt{ \pi} \, (\alpha^2 + \beta^2)^{ \nu+1/2 } \,}
[/tex]
Que vous pouvez retrouver en cliquant ici : Gradshteyn et Ryzhik

Dans notre cas

[tex]
x=r ; \, \alpha=\gamma; \, \beta=q;\, et \, \nu =1\\
Donc \, \int_0^\infty r^{2} e^{- \gamma r} J_1(qr) \, dx= \frac{4 \gamma q \, \Gamma( 1 + 3/2)}{\sqrt{ \pi} \, (\gamma^2 + \beta^2)^{ 3/2 } \,}\\
Or\, \Gamma (x+1)=x \Gamma (x) \Rightarrow \Gamma (1+3/2)=\frac{3}{2} . \frac{1}{2} \Gamma( \frac{1}{2}) =\frac{3}{4} \sqrt{ \pi}\\
A=2 \pi \frac{4 \gamma q \, \frac{3}{4} \sqrt{ \pi}}{\sqrt{ \pi} \, (\gamma^2 + \beta^2)^{ 3/2 } \,}\\
A= \frac{6 \pi \gamma q \, }{\sqrt{ \pi} \, (\alpha^2 + \beta^2)^{ 3/2 } \,}\\
[/tex]