Forum de mathématiques - Bibm@th.net

fandemath

Invité

Rédaction exercice

Trois locataires laissent leurs clés au concierge en partant en vacances. Au retour, celui-ci les rend au hasard aux trois locataires. On note X la variable aléatoire qui prend pour valeur le nombre de locataires qui retrouvent leurs clés.

1) Déterminer la loi de probabilité de x
2) Calculer l'espérance et l'écart type de X

Je n'arrive pas à correctement modéliser la situation pour introduire la loi de probabilité rigoureusement.
Je dis que c'est une permutations d'un ensemble de trois éléments et on associe à chaque élément une clé mais après comment formaliser le fait qu'un triplet correspond à la situation ou 3 clés sont bien rendus ou 1ou 0,
j'imagine que c'est possible en nomant les éléments et en utilisant des indices astucieusement mais j'y arrive pas.
Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît ?

bridgslam

Membre Expert

Lieu : Rospez

Inscription : 22-11-2011

Messages : 1 903

Re : Rédaction exercice

Bonjour

Pour X=0, il suffit de dénombrer les permutations s telles pour i allant de 1 à 3, s(i) est différent de i.
Par exemple ( 2 3 1) en est une.
Diviser ensuite par 6 ( nombre total de permutations) votre dénombrement de dérangements
( Cela se calcule d'ailleurs bien dans le cas général, hors sujet ici).
Mêmes idées pour X=1, avec le nombre de transpositions.
Le reste est encore plus simple.
D'ailleurs avec n=3, à part id, on n'a que des transpositions ou des cycles  donc la situation est vite vue.

A.

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 348

Re : Rédaction exercice

Bonjour,

  Voici comment je procèderai : comme tu l'as suggéré, je nomme les 3 clés. J'appelle A la clé du 1er locataire, B la clé du 2è locataire, C la clé du 3è locataire. On peut décrire l'univers comme l'ensemble des permutations de A,B et C, qui correspond à ce que rend le concierge. Par exemple, la permutation BAC correspond au fait que le concierge donne la clé B au locataire 1, etc ...
Ces permutations sont équiprobables. Pour chacune de ces 6 permutations, on peut déterminer la valeur de $X$. Par exemple, pour la permutation BAC, on a X=1. Cela ne te fait que 6 cas à étudier (sous forme de tableau), et tu vas assez facilement pouvoir en déduire la loi de $X$.

F.