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Bernard-maths

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Polyèdres : l'arme absolue ?

Bonne année à tous !

Je ne cite personne, de peur d'en oublier ... j'ai trop de fans ...

Il y a un an (17/12/2023), j'avais établi une formule de triangle plein dans le plan ... mémoire défaillante, un an de perdu ... je l'ai retrouvée le 30 dernier, et complétée pour l'espace ... ça tourne !

Et le programme Maple :

Je reviendrai sur les détails plus tard.

En effet par équation produit, on peut mettre autant d'équations de triangles, et donc avoir une équation de n'importe quel polyèdre, puisque toute face polygonale quelconque peut se décomposer en un nombre fini de triangles.

Evidemment, une telle équation est lourde, et heureusement dans de nombreux cas il existe une alternative plus "sioux" ...

Soignez vos indigestions, re bonne année,

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (01-01-2025 15:27:11)

Bernard-maths

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Re : Polyèdres : l'arme absolue ?

Bonjour à tous

En fait il y a longtemps que j'avais signalé cette équation, mais jamais essayée avant le 17/12/23.

Dans l'établissement de la formule on peut passer par un chemin "amusant" (qui peut intéresser Borassus ?) :

Considérons deux points distincts A(xa ,ya) et B(xb, yb) d'un plan, ainsi que la droite (AB), et un point M(x, y) du plan, muni d'un repère ON.

Une équation de (AB) est donnée par dét(AM,AB) = 0, ce qui donne (x - xa)(yb - ya) - (y - ya)(xb - xa) = 0.

Si on cherche la distance de M à (AB), on va avoir :
d(M,(AB)) = abs((x - xa)(yb - ya) - (y - ya)(xb - xa)) / sqrt((yb - ya)²+ (xb - xa)²)

soit : d(M,(AB)) = abs((x - xa)(yb - ya) - (y - ya)(xb - xa)) / AB, et donc :
d(M, (AB)) x AB = abs((x - xa)(yb - ya) - (y - ya)(xb - xa))

Ce qui donne : Aire (ABM'M) = abs((x - xa)(yb - ya) - (y - ya)(xb - xa)), ABM'M étant le parallélogramme construit sur les vecteurs AM et AB.

Si on ajoute le point C(xc, yc), avec M intérieur au triangle ABC, on le partage en trois triangles, et on a :
Aire (ABM) + Aire((BCM) + Aire((CAM) = Aire(BCA). En multipliant par 2, on a la formule :

abs((x - xa) (yb - ya) - (y - ya) (xb - xa)) + abs((x - xb) (yc - yb) - (y - yb) (xc - xb)) + abs((x - xc) (ya - yc) - (y - yc) (xa - xc)) = abs((x - xc) (ya - yc) - (y - yc) (xa - xc))

Formule dans laquelle : abs((x - xa) (yb - ya) - (y - ya) (xb - xa)) = 2 Aire(ABM,
abs((x - xb) (yc - yb) - (y - yb) (xc - xb)) = 2 Aire(BCM), abs((x - xc) (ya - yc) - (y - yc) (xa - xc)) = 2 Aire(CAM),
et abs((x - xc) (ya - yc) - (y - yc) (xa - xc)) = 2 Aire(CAB) en faisant M en B pour avoir le triangle CAB entier.

La figure droite montre ce que fait GeoGebra pour "remplir" le triangle CAB ... Par contre avec Maple :

La suite en 3D après ...

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (03-01-2025 14:05:03)

Bernard-maths

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Re : Polyèdres : l'arme absolue ?

Bonjour à tous !

La suite en 3D.

https://www.bibmath.net/formulaire/inde … i=geospace

Ceci nous donne en 3D la distance d'un point M à une droite (AB) : d = $\cfrac {||\overrightarrow{AB}  Λ   \overrightarrow{AM}||}  {||\overrightarrow{AB}||}$

Ce qui donne : d x AB = $||\overrightarrow{AB}  Λ   \overrightarrow{AM}||$

On "retouve"la même image de #2, avec en plus le vecteur rouge du produit vectoriel ...

Toutefois, l'expression de l'aire de ABM est plus complexe avec 3 coordonnées.

Si l'on reprend la 1ère figure du poste #1, avec le programme Maple, on y trouve :

sqrt(((y - ya)*(zb - za) - (z - za)*(yb - ya))^2 + ((z - za)*(xb - xa) - (x - xa)*(zb - za))^2 + ((x - xa)*(yb - ya) - (y - ya)*(xb - xa))^2) = 2 Aire(ABM),
sqrt(((y - yb)*(zc - zb) - (z - zb)*(yc - yb))^2 + ((z - zb)*(xc - xb) - (x - xb)*(zc - zb))^2 + ((x - xb)*(yc - yb) - (y - yb)*(xc - xb))^2) = 2 Aire(BCM),
sqrt(((y - yc)*(za - zc) - (z - zc)*(ya - yc))^2 + ((z - zc)*(xa - xc) - (x - xc)*(za - zc))^2 + ((x - xc)*(ya - yc) - (y - yc)*(xa - xc))^2) = 2 Aire(CAM),
et : sqrt(((yb - yc)*(za - zc) - (zb - zc)*(ya - yc))^2 + ((zb - zc)*(xa - xc) - (xb - xc)*(za - zc))^2 + ((xb - xc)*(ya - yc) - (yb - yc)*(xa - xc))^2) = 2 Aire(CAB), avec B en plaçant M en B.

L'équation "théorique" est alors :

sqrt(((y - ya)*(zb - za) - (z - za)*(yb - ya))^2 + ((z - za)*(xb - xa) - (x - xa)*(zb - za))^2 + ((x - xa)*(yb - ya) - (y - ya)*(xb - xa))^2) + sqrt(((y - yb)*(zc - zb) - (z - zb)*(yc - yb))^2 + ((z - zb)*(xc - xb) - (x - xb)*(zc - zb))^2 + ((x - xb)*(yc - yb) - (y - yb)*(xc - xb))^2) + sqrt(((y - yc)*(za - zc) - (z - zc)*(ya - yc))^2 + ((z - zc)*(xa - xc) - (x - xc)*(za - zc))^2 + ((x - xc)*(ya - yc) - (y - yc)*(xa - xc))^2) = sqrt(((yb - yc)*(za - zc) - (zb - zc)*(ya - yc))^2 + ((zb - zc)*(xa - xc) - (xb - xc)*(za - zc))^2 + ((xb - xc)*(ya - yc) - (yb - yc)*(xa - xc))^2)

Problème !!! Cette équation est juste ! MAIS GeoGebra ne la comprend pas, et Maple ne trace RIEN !!!

Il faut "tricher un peu" ... L'astuce consiste à ajouter un eps(ilon) au membre de droite (très petit = 0.03), ce qui donne une figure légèrement gonflée que Maple peut tracer. Cette figure est très proche du vrai triangle ABC attendu ...

Voilà pour aujourd'hui,

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (03-01-2025 19:08:03)