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Ziggy

Invité

Cercles inscrits et circonscrits dans un triangle rectangle. [Résolu]

Bonjour à tous, et merci par avance de votre aide.

J'ai une petite question qui me trotte dans la tête mais je n'en trouve pas la réponse:

Imaginons C  un cercle inscrit dans un triangle rectangle IJK.

Comment calculer le diamètre de C en utilisant les longueurs des côtés du triangle IJK ?

Merci d'avance,

Ziggy.

freak

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Re : Cercles inscrits et circonscrits dans un triangle rectangle. [Résolu]

On considère IJK le triangle, O le centre du cercle inscrit et I', J', K' les points de tangence du cercle C et du triangle aux cotés JK, IK, IJ. Ainsi, le rayon du cerle est r=OI'=OJ'=OK'.

Pour trouver r, il nous faut une équation le mettant en scène.
Si l'on fait le dessin, et si l'on rajoute dessus le fait que les rayons OI', OJ', OK' sont perpendiculaires respectivement aux  JK, IK, IJ, on remarque que l'on a des triangles OJK, OIK, et  OIJ dont on connait une hauteur et la base correspondante: on connait donc l'aire de ces triangles en fonction de notre inconnue, r, par la formule base*hauteur/2.

L'équation que l'on cherche apparait ici: la somme des aires de ces trois triangles fait précisément l'aire du triangle IJK.
Si l'on a supposé que l'on connaissait les cotés de IJK, alors on peut trouver son aire (je te laisse faire le calcul, il s'agit de déterminer la hauteur en appliquant deux fois Pythagore, je pense).
On obtient ainsi l'équation  aire(OJK)+aire(OIK)+aire(OIJ)=aire(IJK) qui est une équation linéaire en r.
Enfin, le diamètre vaut 2r

Ziggy

Invité

Re : Cercles inscrits et circonscrits dans un triangle rectangle. [Résolu]

Salut freak, 

Tout d'abord je te remercie pour ta réponse.

Je ne dispose en fait d'aucune mesure..et donc je pense ne pas pouvoir appliquer ton raisonnement.
En fait, je pose cette question dans le cadre d'un exercice que je cherche à résoudre.
Je dois démontrer que le diamètre d'un cercle inscrit dans un triangle rectangle + le diamètre du cercle circonscrit à ce même triangle= la somme des deux côtés adjacents à l'angle droit du fameux triangle.

J'ai commencé par montrer que:

BC²= AC²+ AB²     où BC est le diamètre du cercle circonscrit et AC et AB les côtés adjacents de l'angle droit.

Mais je n'ai pas trouvé d'égalité équivalente pour le diamètre du cercle inscrit, et je pense que cela pourrait fortement m'aider pour continuer mon raisonemment et démontrer la propriété énoncée plus haut.

Amicalement,

Ziggy.

Ziggy

Invité

Re : Cercles inscrits et circonscrits dans un triangle rectangle. [Résolu]

Re,

Je crois avoir trouvé ce que je cherche...

Le sujet peut donc a priori être fermé.

Amicalement,

Ziggy.