Forum de mathématiques - Bibm@th.net

mrini1957

Membre

Inscription : 08-10-2019

Messages : 29

exercice d Arithmetique

bonjour
merci un coup de pouce pour faire cet exo
mq   [tex]2^n | (3+\sqrt5)^n+(3-\sqrt5)^n[/tex]

faisable par recurence a remarquer que : [tex]a^{n+1} + b^{n+1} = (a + b)(a^n + b^n) - ab(a^{n-1} + b^{n-1})[/tex]

mais encore on peut ecrire :[tex](3+\sqrt5)^n+(3-\sqrt5)^n=(2(3/2+\sqrt5/2))^n+(2(3/2-\sqrt5/2))^n=2^n[(3/2-\sqrt5/2)^n+(3/2+\sqrt5/2)^n][/tex] et mq [tex]S_n=[(3/2-\sqrt5/2)^n+(3/2+\sqrt5/2)^n][/tex] est entier 

deja en utilisant le binome de Nweton  les termes por k impaires se simplifies et ne reste  que
[tex]S_n=2\sum _0^nC_n^k (\frac 32)^{n-k} (\frac{\sqrt 5}2)^k _ {k pair}[/tex]

cailloux

Membre

Inscription : 21-09-2023

Messages : 251

Re : exercice d Arithmetique

Bonjour,
"mq" je suppose "montrer que" mais montrer quoi ?
En tout état de cause, avec $u_n=2^n[(3+\sqrt{5})^n+(3-\sqrt{5})^n]$, on peut montrer que : $u_{n+2}=12u_{n+1}-16u_n$
Ce qui suffit pour montrer, par exemple par récurrence, que $u_n$ est entier.
[Edit]Désolé, je t'ai mal lu. Je reviens un peu plus tard.

Dernière modification par cailloux (18-11-2024 12:13:52)

cailloux

Membre

Inscription : 21-09-2023

Messages : 251

Re : exercice d Arithmetique

Je reprends :
Avec $u_n=(3+\sqrt{5})^n+(3-\sqrt{5})^n$, on peut montrer par récurrence que $u_n=2^nv_n$ où :
$v_{n+2}=3v_{n+1}-v_n$ avec $v_0=2$ et $v_1=3$ (les termes de $(v_n)$ sont des entiers naturels).

mrini1957

Membre

Inscription : 08-10-2019

Messages : 29

Re : exercice d Arithmetique

bonsoir merci cailloux
[tex](3+\sqrt5)^n+(3-\sqrt5)^n=(2(3/2+\sqrt5/2))^n+(2(3/2-\sqrt5/2))^n=2^n[(3/2-\sqrt5/2)^n+(3/2+\sqrt5/2)^n][/tex]  avec [tex]u_n=(3+\sqrt5)^n+(3-\sqrt5)^n[/tex] on a [tex]u_n=2^n v_n[/tex] avec [tex]v_n=(3/2-\sqrt5/2)^n+(3/2+\sqrt5/2)^n[/tex]

ona [tex]3/2-\sqrt5/2[/tex] et [tex]3/2+\sqrt5/2[/tex] sont racines  de
[tex]P(x)=[(x-3/2)-\sqrt5/2][(x-3/2)+\sqrt5/2]=x²-3x+1[/tex] donc [tex]v_{n+2}=3v_{n+1}-v_n[/tex]
et apres on utlise une récurence d ordre 2 pour montrer que [tex]v_n[/tex]est entier

cailloux

Membre

Inscription : 21-09-2023

Messages : 251

Re : exercice d Arithmetique

Je pensais utiliser directement une récurrence d'ordre 2 pour montrer que pour tout $n$ entier naturel, $u_n=2^nv_n$ où $(v_n)$ est la suite récurrente définie plus haut.
Finalement, ta solution est plus rapide/efficace. Bravo !

mrini1957

Membre

Inscription : 08-10-2019

Messages : 29

Re : exercice d Arithmetique

bonjour en remarquant que : [tex]3/2-\sqrt5/2=\dfrac 1{3/2+\sqrt5/2}[/tex] on est ramené a demontrer que 
[tex]a^n+\dfrac 1{a^n}[/tex] est entier  [tex]a=3/2+\sqrt5/2[/tex] sachant [tex]a+1/a [/tex] est entier

mrini1957

Membre

Inscription : 08-10-2019

Messages : 29

Re : exercice d Arithmetique

deja [tex]a²+1/a²=(a+1/a)²-2[/tex]

plus generalement [tex] a^{n+1}+\frac1{a^{n+1}}=(a^n+\frac1{a^n})(a+\frac1a)-(a^{n-1}+\frac1{a^{n-1}})[/tex]