Forum de mathématiques - Bibm@th.net

ant0

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Continuité dans Rn

Bonjour,
J'ai posé cette question sur le forum de mon école il y a quelques jours mais j'ai encore du mal a comprendre, sachant que ma seconde question a peu de chance d'avoir a nouveau une reponse, je me permet de la poser ici.
Merci a tout ceux qui prendront de leur temps pour m'aider !

La question :
D=R2∖{(0,0)} et f:D→R une fonction telle que pour tout alpha∈[0,2pi] on a lim t→0 f(tcos(alpha),tsin(alpha))=2
Alors f admet un prolongement par continuité au point (0, 0).

Mon message :
Je ne comprend pas, pour moi si pour toutes les directions autour de mon point en me rapprochant le plus proche possible de 0,0 je trouve la meme valeur, alors pourquoi la fonction ne pourrait admettre de prolongement par continuite ?

La reponse :
Hello,
En faite la subtilité de la question réside dans la manière dont sont exprimés x et y, x= t cos θ et y = t sin θ.
Tu as bien compris la définition de prolongement par continuité. En effet, si pour toutes les directions autour de ton point en se rapprochant le plus proche possible de 0,0 tu trouves la meme valeur, alors la fonction ne admet un prolongement par continuite.
Néanmoins ici tes points sont paramétrisés par un angle donc tu vas approcher ton point que d'une certaine manière qu'on appelle direction radiale.
Pour mieux comprendre, considérons les coordonnées polaires où un point (x,y) est représenté par (r,θ), où r est la distance à l'origine et θ est l'angle avec l'axe x. Un chemin radial vers (0,0) est donné par : (x,y)=(rcos(θ),rsin(θ)). Et donc ici, lorsque r tend vers 0, le point (x,y) se rapproche de l'origine le long d'une ligne droite.
C'est pourquoi la proposition est fausse :)

Et finalement ma reponse :
Merci beaucoup pour la reponse !
Je n'arrive alors plus a comprendre comment on a fait pour justifier la continuité dans le cours ou les exercices en passant en coordonnées polaire si on ne traitait enfait pas tous les cas.
De plus si mon angle θ n'est pas fixé (ce qui me semble etre le cas), alors pourquoi le point (x,y) est contraint a rester sur une ligne droite ?

Dernière modification par ant0 (12-06-2024 18:55:49)

DeGeer

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Re : Continuité dans Rn

Bonsoir
J'essaye de répondre à ton message initial :

Je ne comprend pas, pour moi si pour toutes les directions autour de mon point en me rapprochant le plus proche possible de 0,0 je trouve la meme valeur, alors pourquoi la fonction ne pourrait admettre de prolongement par continuite ?

La meilleure manière de s'en convaincre est de trouver un contre-exemple. Par exemple, la fonction $f$ qui à un point autre que $(0,0)$, de coordonnées polaires $(r,\theta )$ avec $r \in \mathbb{R}_{+}^{*}$ et $\theta \in ]0,2\pi]$ associe $\dfrac{r}{\theta}$.
Si on fixe $\theta$ et qu'on prend une suite $(x_n)$ de $\mathbb{R}^2$ de coordonnées polaires $(r_n,\theta)$ où $r_n$ tend vers $0$, alors $f(x_n)$ tend vers $0$. Ainsi, la fonction $f$ admet pour limite $0$ en $(0,0)$ suivant toutes les directions.
Si maintenant on considère la suite $(x_n)$ de coordonnées polaires $(r_n,r_n)$ avec $r_n \in ]0,2\pi]$ tend vers $0$, alors $f(x_n)=1$ pour tout $n$ donc ne tend pas vers $0$.

ant0

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Re : Continuité dans Rn

Bonsoir,
Je vous remercie pour votre reponse.
Je me suis rendu compte trop tard qu'il y avait plein de ? dans ma question, je m'en excuse.
Par rapport a votre réponse, vous parlez de fixer l'angle, mais le pour tout alpha [0,2pi] ne nous permet-il pas de le "deplacer" librement durant le calcul de la limite ?
Sinon pour la deuxieme partie de votre explication en utilisant une suite (Xn) de coordonnées polaire (rn,rn), on a fixe notre angle egale a notre rayon ??

Michel Coste

Membre Expert

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Re : Continuité dans Rn

Bonjour,
La fonction proposée par DeGeer présente le désavantage de ne pas être continue sur $\mathbb R^2\setminus \{(0,0)\}$. En voici une qui l'est :
Considère la fonction qui vaut 2 pour tout $(x,y)\in \mathbb R^2\setminus \{(0,0)\}$ tel que $y\leq 0$ ou  $2x^2\leq y$ et qui vaut $2+ \dfrac{y(2x^2-y)}{x^4}$ pour tout $(x,y)$ tel que $0<y<2x^2$.
Quand tu approches l'origine en suivant n'importe quelle droite , tu trouves 2 comme limite.
Quand tu approches l'origine en suivant la parabole $y=x^2$, tu trouves 3 comme limite.