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glnr_1

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Messages : 5

DM Ensembles

Bonjour,
Bien qu'en terminale je poste ici puisque j'ai un DM (facultatif) un peu ardu à réaliser. Pourriez-vous vérifier si les réponses que j'ai apportées à certaines questions sont correctes, ou à préciser ? En vous remerciant de vos conseils.

1. On suppose qu'un ensemble $E$ est en bijection avec une partie finie de $\mathbb{N}$. Montrer que $E$ est fini au sens de Cantor
Comme $A$ est fini $E$ ne peut pas être en bijection avec un ensemble infini. Par hypothèse $f : E \to A$ est une bijection. Ensuite comme $A$ est une partie finie de $\mathbb{N}$ elle peut être en bijection avec une partie finie de $ \mathbb{N}$ par $ f : B \to A $, par composition $g \circ f : E \to A$ est une bijection donc il est bien fini.

2.aSoit $A \subseteq \mathbb{N}$ avec $A$ une partie infinie. Justifier que $A \cong \mathbb{N}$
On crée une fonction de numérotage $f : \mathbb{N}\to A$.$\forall a \in A$ comme $A$ est une partie infinie $ \mathbb{N}$, il existe un plus petit élément $a_{0}$ dans $ A$. Ainsi $a_{0}$ est atteint car $f(0) = a_{0}$ et il n’y a pas de plus petit élément que $a_{0}$. En itérant ce processus chaque $a$ suivant dans $A$ aura un antécédent. $A$ est infini il n’y a donc pas de plus grand élément. Ainsi pour chaque élément ajouté à la numérotation , il y aura toujours un élément de $A$ à numéroter. D’où le fait que tous les entiers naturels sont nécessaires pour numéroter $A$.Comme $f$ est une injection et une surjection c'est une bijection de $A$ sur $\mathbb{N}$ d’où $A \cong \mathbb{N}$

2.b Soit $E$ un ensemble en bijection avec une partie infinie de $\mathbb{N}$, montrer que $E \cong \mathbb{N}$.
$E$ est en bijection avec une partie infinie de $\mathbb{N}$ donc il existe $f : E \to B$ une bijection de $E$ sur $B$ où $B$ est une partie infinie en appliquant le même raisonnement que celui pour 2. à un $b \in B$ il existe une bijection telle que $g : B \to \mathbb{N}$ par composition $f \circ g : E \to \mathbb{N}$ est une bijection d’où par composition $E \cong \mathbb{N}$ au sens de Cantor.

3. Soit $f : E \to F$. Montrer que $E\cong f(E)$, en déduire qu'un ensemble est dénombrable s'il injecte dans un autre ensemble dénombrable.
D'emblée $f$ est une surjection de $E$ vers $f(E)$ par définition de $f(E)$. Ensuite $|f(E)| \leq |F|$ donc $f_{|f(E)}$ est également une injection puisque $f$ en est une. D'où $E \cong f(E)$, ainsi $f$ est une bijection de $E$ vers $f(E)$, d'où $E \cong f(E)$. Comme les parties de $E$ sont dénombrables $E$ l'est également.

4. Montrer que $E\times F \cong \mathbb{N}$ avec $E,F$ deux ensembles dénombrables
$E$ et $F$ sont dénombrables, qu'ils soient finis ou non on a que $\varphi : E \to \mathbb{N}$ et $\psi  : F \to \mathbb{N}$ sont des bijections car ils sont dénombrables par hypothèse (on l'a montré dans des questions que je n'ai pas affichées). Soit $\omega : (e,f) \to (\varphi(e), \psi(f))$ qui va de $E \times F$ vers $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$. $\omega$ est une injection. Soient $e_{1},e_{2} \in E$ et $f_{1},f_{2} \in F$. Si $\omega (e_{1}, f_{1}) = \omega(e_{2},f_{2})$ alors $\varphi(e_{1},f_{1}) = \varphi(e_{2},f_{2})$ comme $\varphi$ et $\psi$ sont des bijections, elles sont en particulier des injections donc si $\varphi(e_{1}) = \varphi(e_{2})$ et $\psi(f_{1}) = \psi(f_{2})$ on a $e_{1} = e_{2}$ et $f_{1} = f_{2}$ donc $(e_{1},f_{1}) = (e_{2},f_{2})$, d'où le résultat. $\omega$ est une surjection. $\forall (m,n) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}, \exists e \in E, \exists f \in F$ tels que $\varphi(e) = m$ et $\varphi(f) = n$ car $\varphi$ et $\psi$ étant des bijections elles sont en particuliers des surjections. Ainsi un antécédent de $(m,n)$ est $(e,f)$ par $\omega$ on obtient $\omega(e,f) = (m,n)$, ainsi $\omega : E\times F \to \mathbb{N}\times \mathbb{N}$ est une bijection (comme on a montré dans une question qui n'apparaît pas que $\varphi : \mathbb{N}\times \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ est une bijection), on conclut par composition.

5. Montrer que $\mathbb{Q}$ injecte dans $\mathbb{Z}\times \mathbb{N}$
En tout premier lieu $\mathbb{Q} \cong \mathbb{Z} \times \mathbb{N}^{*}$.Soit $\omega : \mathbb{Z} \times \mathbb{N}^{*} \to \mathbb{Q}$ une fonction définie par $\omega((m,n)) = \dfrac{m}{n}$. En premier lieu $\omega$ est une injection puisque si $\omega(m_{1},n_{1}) = \omega(m_{2},n_{2})$ pour $m_{1},m_{2} \in \mathbb{Z}$ et $n_{1},n_{2} \in \mathbb{N}^{*}$ on a $\frac{m_{1}}{n_{1}} = \frac{m_{2}}{n_{2}}$ donc $m_{1} = m_{2}$ et $n_{1} = n_{2}$. Ensuite par définition de $\mathbb{Q}$ on a $\mathbb{Q} := \left\{\frac{m}{n} | (m,n) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{N}^{*}, m \wedge n = 1  \right\}$, on peut dès lors exiber $l = \frac{m}{n}$ qui a pour antécédent $(m,n)$, donc $\omega ((m,n)) = l$, donc $\omega$ surjective. Ensuite $\varphi : \mathbb{Z} \times \mathbb{N}^{*} \to \mathbb{Z} \times \mathbb{N}$ injecte dans $\mathbb{Z} \times \mathbb{N}$ on conclut en utilisant 4. puisque $\mathbb{Z}\times \mathbb{N}$ est dénombrable.

(On a démontré entre temps le lemme de Knaster Tarski, on va maintenant montrer le théorème de Cantor avec $\varphi X\mapsto A\backslash g(B\backslash f(X))$ qui va de $P(E)$ vers $P(A)$ avec $f : E \to F$ et $g : F\to E$ des injections)

6.Montrer que $\varphi$ admet un point fixe $S$
Supposons $X \subseteq Y$ dès lors $B \backslash f(X) \supseteq B\backslash f(Y)$ car $f(X) \subseteq f(Y)$. Par $g$, on a $g(B\backslash f(X)) \subseteq g(B \backslash f(Y))$ par le même argument et donc $A \backslash g(B\backslash f(X)) \subseteq A \backslash g(B \backslash f(Y))$ d'où $\varphi(X) \subseteq \varphi(Y)$ D'après le lemme de Knaster-Tarski comme $X \subseteq Y \subseteq E$ et $\varphi(X) \subseteq \varphi(Y) $ il vient qu'il existe $S \subseteq E$ tel que $\varphi(S) = S$ soit $A \backslash g(B \backslash f(S)) = S$ soit encore $A\backslash (A\backslash(g\backslash(B\backslash(S)))) = A\backslash S$ soit $g(B \backslash f(S)) = A \backslash S$

7. Montrer que $S\cong f(S)$ et $A\backslash S \cong B\backslash S$
$f|_{S} : S \to f(S)$ est une injection car $f$ en est une et en plus une surjection par restriction à $S$, par le même argument $g|_{B\backslash f(S)} : B\backslash f(S) \to g(B\backslash f(S))$ est une bijection, d'où les équipotences.

8. Montrer que $A\cong B$ en construisant explicitement une bijection en fonction de $f,g,S$
On construit $\xi$ qui renvoie $f$ si $x \in S$ et $g^{-1}$ sinon (i.e si $x \in A\backslash S$) avec $f :S \to f(S) $ et $g : B\backslash f(S) \to B \backslash S$

russel21

Invité

Re : DM Ensembles

Coquilles :
3. :
**Enoncé
** ** f est injective
** ** "un ensemble infini  est dénombrable s'il injecte dans un autre ensemble dénombrable", cependant l'énoncé est vrai sans "infini" si dénombrable signifie au plus dénombrable. Note : au plus dénombrable signifie dénombrable ou fini.
**Preuve
** ** De même. "Comme les parties de E sont dénombrables E l'est également". Pas très clair. Veux-tu dire "si f(E) est au plus dénombrable il s'en suit que E est au plus dénombrable " ? Une fois de plus, l'énoncé qui suit est valide pour E infini : "si f(E) est dénombrable alors E est dénombrable"

-Preuves > 5. :
ceci est faux : "on a $\frac{m_1}{n_1}=\frac{m_2}{n_2} $ donc $m_1=m_2$ et $n_1=n_2$". En effet pour $m_2 = m_1 . k $ et $n_2 = n_1 . k$ où $k \in \mathbb{N}^*$, on a bien $\frac{m_1}{n_1}=\frac{m_2}{n_2} $ mais $m_2 \neq m_1 . k $ et $n_2 \neq n_1 . k$.

-Enoncé > 5. :
Ce qui est écrit sur ton énoncé n'est pas plutôt "Montrer que $\mathbb{Q}$ est dénombrable" ?

-Preuves : semble avoir compris les points clés

-Preuves : confus
-Preuves > Lecture : se répète, coquilles (lettres pas introduites, lettres différentes pour le même objet, même lettre pour deux objets différents, ...)
-Preuves : extrêmement concis

Explicite toutes les étapes logiques de ce que tu dis, et les définitions.
Ce que tu dis est souvent juste, mais explicite les étapes de ton raisonnement, ceci permet de rendre plus fluides et de mieux comprendre tes preuves (par tes lecteurs et toi-même)

Prends comme exemple ta preuve de la question 4. , qui est explicite et fluide à lire (si on oublie les coquilles...).

PS : être précis et juste