Forum de mathématiques - Bibm@th.net

bibib

Invité

Calcul d'une limite.

Bonsoir,

Comment calcule-t-on les limites suivantes, [tex]\displaystyle \lim_{ x \to + \infty } \ x \cos (x)[/tex] et [tex]\displaystyle \lim_{ x \to - \infty } \ x \cos (x)[/tex] ?

Merci d'avance.

Michel Coste

Membre Expert

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Messages : 1 464

Re : Calcul d'une limite.

Bonsoir,
Avant de calculer une limite, il est bon de se poser la question de son existence.

bibib

Invité

Re : Calcul d'une limite.

Merci, mais il n y a aucun moyen pour moi de savoir si ces deux limites existent ou non. C'est difficile d’imaginer la réponse.
Faut-t-il trouver deux suites (u_n)_{ n \geq 0 } et [tex](v_n)_{ n \geq 0 }[/tex] telles que [tex]u_n \displaystyle_{ n \to + \infty } 0[/tex] et [tex]v_n \displaystyle_{n \to + \infty } 0[/tex] et [tex]\displaystyle \lim_{ x \to + \infty } \  u_n \cos ( u_n ) \neq \displaystyle \lim_{ x \to + \infty } \  v_n \cos ( v_n )[/tex] ?

bibib

Invité

Re : Calcul d'une limite.

Merci, mais il n y a aucun moyen pour moi de savoir si ces deux limites existent ou non. C'est difficile d’imaginer la réponse.
Faut-t-il trouver deux suites [tex](u_n)_{ n \geq 0 }[/tex] et [tex](v_n)_{ n \geq 0 }[/tex] telles que [tex]u_n \displaystyle \longrightarrow_{ n \to + \infty } 0[/tex] et [tex]v_n \displaystyle \longrightarrow_{n \to + \infty } 0[/tex] et [tex]\displaystyle \lim_{ x \to + \infty } \  u_n \cos ( u_n ) \neq \displaystyle \lim_{ x \to + \infty } \  v_n \cos ( v_n )[/tex] ?

bibib

Invité

Re : Calcul d'une limite.

Merci, mais il n y a aucun moyen pour moi de savoir si ces deux limites existent ou non. C'est difficile d’imaginer la réponse.
Faut-t-il trouver deux suites [tex](u_n)_{ n \geq 0 }[/tex] et [tex](v_n)_{ n \geq 0 }[/tex] telles que [tex]u_n \displaystyle \longrightarrow_{ n \to + \infty } + \infty[/tex] et [tex]v_n \displaystyle \longrightarrow_{n \to + \infty } + \infty[/tex] et [tex]\displaystyle \lim_{ x \to + \infty } \  u_n \cos ( u_n ) \neq \displaystyle \lim_{ x \to + \infty } \  v_n \cos ( v_n )[/tex] ?

bibib

Invité

Re : Calcul d'une limite.

Merci, mais il n y a aucun moyen pour moi de savoir si ces deux limites existent ou non. C'est difficile d’imaginer la réponse.
Faut-t-il trouver deux suites [tex](u_n)_{ n \geq 0 }[/tex] et [tex](v_n)_{ n \geq 0 }[/tex] telles que [tex]u_n \displaystyle \longrightarrow_{ n \to + \infty } + \infty[/tex] et [tex]v_n \displaystyle \longrightarrow_{n \to + \infty } + \infty[/tex] et [tex]\displaystyle \lim_{ x \to + \infty } \  u_n \cos ( u_n ) \neq \displaystyle \lim_{ x \to + \infty } \  v_n \cos ( v_n )[/tex] ?

Michel Coste

Membre Expert

Inscription : 05-10-2018

Messages : 1 464

Re : Calcul d'une limite.

" C'est difficile d’imaginer la réponse."
Non, il suffit de savoir comment se comporte les fonctions $x\mapsto x$ et $x\mapsto \cos(x)$.

bibib

Invité

Re : Calcul d'une limite.

il suffit de savoir comment se comporte les fonctions $x\mapsto x$ et $x\mapsto \cos(x)$.

[tex]x\mapsto x[/tex] est non bornée, et [tex]x\mapsto \cos(x)[/tex] est bornée et périodique. Mais, ça ne nous aide en rien.

DrStone

Membre

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Messages : 307

Re : Calcul d'une limite.

Si jamais ça peut t'aider, voici à quoi ressemble graphiquement ta fonction

Dernière modification par DrStone (11-02-2024 11:38:00)

bibib

Invité

Re : Calcul d'une limite.

Bonjour,

Merci de m’avoir tracé le graphe DrStone.  :-)

Voici la réponse,
On a, [tex]\displaystyle \lim_{ n \to \infty } 2\pi n\ cos(2\pi n) = \displaystyle \lim_{ n \to \infty } 2\pi n = + \infty[/tex].
Et, [tex]\displaystyle \lim_{ n \to \infty } (2\pi n+\pi/2)\ cos(2\pi n+\pi/2) = 0[/tex]
Et donc, [tex]\displaystyle \lim_{ n \to \infty } 2\pi n\ cos(2\pi n) \neq \displaystyle \lim_{ n \to \infty } (2\pi n+\pi/2)\ cos(2\pi n+\pi/2)[/tex]
D'où, [tex]\displaystyle \lim_{ n \to \infty } x \cos (x)[/tex] n'existe pas.

Michel Coste

Membre Expert

Inscription : 05-10-2018

Messages : 1 464

Re : Calcul d'une limite.

Ce que bibib opmet de dire, c'est que cette réponse facile lui a été donnée sur le forum Futura-Sciences où il sévit sous le pseudo Anonyme007 : https://forums.futura-sciences.com/math … ies-2.html

yoshi

Modo Ferox

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Messages : 17 385

Re : Calcul d'une limite.

Re,

Ce qui appelle de ma part 2 qualifications :
Abus de confiance, malhonnêteté intellectuelle...
Ce qui nous donne raison lorsqu'on dit que ce genre de procédé conduit celui qui l'emploie à utiliser les réponses des uns pour lesz soumettre aux autres.

Au passage, ça va leur faire plaisir...

Bin oui, il était illusoire de croire que tu ne serais pas pas rattrapé par la patrouille...

Sujet fermé.

     Yoshi
- Modérateur