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Bruno010

Invité

Séries numériques.

Bonsoir,

J'aimerais comprendre qu'est ce qui permet à une série numérique d’être convergente, alors que l'ensemble des séries convergentes sont négligeables devant l'ensemble des séries divergentes ? Comment mesurer cette obstruction ?

Merci d'avance.

bridgslam

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Re : Séries numériques.

Bonjour,

Pouvez-vous préciser vos affirmations: négligeables, obstruction... Vous avez des éléments tangibles pour l'affirmer?
Notamment, quel sens mathématique attribuez-vous à ces termes ?

A.

Bruno010

Invité

Re : Séries numériques.

Bonjour,

Bonjour,

Pouvez-vous préciser vos affirmations: négligeables, obstruction... Vous avez des éléments tangibles pour l'affirmer?
Notamment, quel sens mathématique attribuez-vous à ces termes ?

A.

Par négligeable, j'entends,
Si [tex]S[/tex] est l'ensemble des suites numériques [tex](u_{n})_{ n \geq 0 }[/tex], et si [tex]SD[/tex] est l'ensemble des suites numériques [tex](u_{n})_{ n \geq 0 }[/tex] telles que [tex]\sum_n u_n[/tex] est convergente, alors, [tex]SD[/tex] est dense dans [tex]S[/tex] pour une certaine topologie naturelle définie sur [tex]S[/tex].

Par obstruction, j'entends,
Une construction ou structure algébrique qui permet de mesurer combien d’écarts reste-t-il à une série numérique quelconque pour être convergente.

Bruno010

Invité

Re : Séries numériques.

Par obstruction, j'entends,
Une construction ou structure algébrique qui permet de mesurer combien d’écarts reste-t-il à une série numérique quelconque pour être convergente.

Cela permettra de comprendre plus rigoureusement qu'est ce qui permet par rapport à la nature d'une suite, qu'une série d’être convergente. C'est à dire d’échapper à la règle et à cet environnement déterministe qui est que, normalement une série numérique devrait être divergente ( Par l’axiome du choix ).

DeGeer

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Re : Séries numériques.

Quelle est la topologie sur $S$?

Bruno010

Invité

Re : Séries numériques.

La topologie produit, il me semble.
Voir ici : https://fr.wikipedia.org/wiki/Topologie_produit

bridgslam

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Re : Séries numériques.

Bonjour,

Oui, en effet, cela m'intéresse aussi , car par exemple $\mathbb{Q }$ est dense dans lui-même, et je ne vois pas ce que ça prouve côté négligeabilité.

Si la série est à termes dans $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ (série numérique), ou dans un espace vectoriel tel qu'on peut revenir à la convergence des séries sur les coordonnées (in fine à valeurs dans $\mathbb{R}$ je peux préciser divers points:

Quand les signes ne sont pas constants à partir d'un rang donné (par exemple cas des séries alternées), il peut arriver que les oppositions de signes, et seulement cela, fasse converger la série (sorte de compensations).
Il s'agit alors de semi-convergence, car séparément les sommes des parties de même signes ne convergent pas ( la présence des deux est nécessaire pour se compenser).
Qui plus est l'ordre de sommation est primordial,on peut faire diverger, ou converger vers ce qu'on veut, en changeant cet ordre.

Propriété plus forte:
  Si la série des valeurs absolues (qui gomme donc toute compensation due aux signes) converge, alors à fortiori la série converge.
C'est démontrable facilement sur le numérique, et si on est dans un espace de Banach, on utilise le critère de Cauchy par exemple.
On dit que la série converge absolument. C'est la super propriété, qu'on peut rapprocher des fonctions intégrables dans la théorie de Lebesgue, par analogie.
L'ordre de sommation n'a alors plus d'importance, ni même les regroupements par paquets divers et variés.
En fait les séries à convergence absolue sont des cas particuliers des familles sommables, où l'ensemble des indices n'est même pas censé être ordonné ni même dénombrable ( le support est dénombrable quand la famille est sommable ).
C'est plus intransigeant mais plus naturel, car il paraît "normal" que la somme des termes d'une suite ne dépendent que de son image, et pas du tout de la manière de faire,  à l'instar des sommes finies
(qui vues "en bloc" servent justement à définir les familles sommables, pas un hasard).

Au point de vue probabilité, mesurer l' évènement "la série est convergente" en tirant au hasard une série quelconque ne me semble pas simple.
Ca me rappelle une anecdote : avoir une main de 13 piques parmi 52 est aussi probable que toute autre main de 13 cartes au bridge.
Cela peut sembler beaucoup plus rare, car les mains ordinaires sont anonymes (côté jeu) vis à vis de celle-là. C'est donc psychologique et toute autre apparition précise a exactement la même probabilité de survenir.
Cela peut sembler évident quand on fait des maths (et encore mieux des probas) mais posez la question autour de vous...voua serez surpris.

A.

Dernière modification par bridgslam (16-01-2024 14:41:18)

bridgslam

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Re : Séries numériques.

Re bonjour,

Par contre la règle qui dit qu'une série, normalement, doit être divergente, je ne vois pas...
Et je ne vois pas non plus ce que AC vient y faire.

A.

Glozi

Invité

Re : Séries numériques.

Bonjour,
Quelques pistes qui disent qu'il y a "peu" de séries convergentes :
- Topologique
On muni l'ensemble des suites $S=\mathbb{R}^\mathbb{N}$ de la topologie produit, on note $SD\subset S$ l'ensemble des suites dont les sommes partielles convergent. Notons que $SD$ est inclus dans $S_0$ l'ensemble des suites qui convergent vers $0$. Or $S_0$ est d'intérieur vide. En effet, tout ouvert non vide $U\subset S$ contient un ensemble de la forme $\prod_{i=1}^N ]a_i,b_i[\times \mathbb{R}^\mathbb{N}$ et contient donc des suites qui ne convergent pas vers $0$. Ainsi $SD$ est également d'intérieur vide.

-Probabiliste.
On prend une suite de variables aléatoires $(X_n)$ indépendantes et de même loi telle que $\mathbb{P}(X_0\neq 0)>0$, alors presque sûrement (avec probabilité $1$), la suite $(X_n)_{n\geq 0}$ ne converge pas vers $0$ et n'est donc pas dans $SD$, en effet puisque $\mathbb{P}(X_0\neq 0)>0$, on peut trouver $\delta>0$ tel que $\mathbb{P}(|X_0|>\delta)>\delta$, le lemme de Borel Cantelli dit alors que presque sûrement une infinité d'évènement $\{|X_n|>\delta\}$ va se produire empêchant donc la convergence vers $0$.

Quelques pistes qui montrent qu'il y a tout de même un "sacré paquet" d'éléments dans $SD$.
- au niveau du cardinal
On a $\text{Card}(S)=\text{Card}(\mathbb{R}^\mathbb{N}) = \text{Card}(\mathbb{R})$.
On a également $\text{Card}(SD) = \text{Card}(\mathbb{R})$ (il suffit de faire varier le premier terme d'une série convergente pour s'en convaincre).
Donc il y a une bijection entre l'ensemble des suites, et l'ensembles des suites dont les sommes partielles convergent.

- au niveau topologique.
Au lieu de mettre la topologie produit sur $S$, mettons la topologie des boites. Alors $\prod_{n\geq 0}]-2^{-n},2^{-n}[$ est un ouvert non vide pour cette topologie qui est contenu dans $SD$, ainsi $SD$ n'est pas d'intérieur vide.

Bonne journée

Bruno010

Invité

Re : Séries numériques.

Par négligeable, j'entends,
Si [tex]S[/tex] est l'ensemble des suites numériques [tex](u_{n})_{ n \geq 0 }[/tex], et si [tex]SD[/tex] est l'ensemble des suites numériques [tex](u_{n})_{ n \geq 0 }[/tex] telles que [tex]\sum_n u_n[/tex] est convergente, alors, [tex]SD[/tex] est dense dans [tex]S[/tex] pour une certaine topologie naturelle définie sur [tex]S[/tex].

Pardon, [tex]SD[/tex] est l'ensemble des suites numériques [tex](u_{n})_{ n \geq 0 }[/tex] telles que [tex]\sum_n u_n[/tex] est [tex]divergente[/tex] et non convergente. Je vous présente toutes mes excuses. ça inversé le sens de tout ce que comporte ce fil comme idées. Je suis triste. C'est dommage que ça tourne ainsi. :-)

Bruno010

Invité

Re : Séries numériques.

Par négligeable, j'entends,
Si [tex]S[/tex] est l'ensemble des suites numériques [tex](u_{n})_{ n \geq 0 }[/tex], et si [tex]SD[/tex] est l'ensemble des suites numériques [tex](u_{n})_{ n \geq 0 }[/tex] telles que [tex]\sum_n u_n[/tex] est convergente, alors, [tex]SD[/tex] est dense dans [tex]S[/tex] pour une certaine topologie naturelle définie sur [tex]S[/tex].

Pardon, [tex]SD[/tex] est l'ensemble des suites numériques [tex](u_{n})_{ n \geq 0 }[/tex] telles que [tex]\sum_n u_n[/tex] est divergente et non convergente. Je vous présente toutes mes excuses. ça inversé le sens de tout ce que comporte ce fil comme idées. Je suis triste. C'est dommage que ça tourne ainsi. :-)

Bruno010

Invité

Re : Séries numériques.

Par négligeable, j'entends,
Si [tex]S[/tex] est l'ensemble des suites numériques [tex](u_{n})_{ n \geq 0 }[/tex], et si [tex]SD[/tex] est l'ensemble des suites numériques [tex](u_{n})_{ n \geq 0 }[/tex] telles que [tex]\sum_n u_n[/tex] est convergente, alors, [tex]SD[/tex] est dense dans [tex]S[/tex] pour une certaine topologie naturelle définie sur [tex]S[/tex].

Pardon, [tex]SD[/tex] est l'ensemble des suites numériques [tex](u_{n})_{ n \geq 0 }[/tex] telles que [tex]\sum_n u_n[/tex] est divergente et non convergente. Je vous présente toutes mes excuses. ça inversé le sens de tout ce que comporte ce fil comme idées. Je suis triste. C'est dommage que ça tourne ainsi. :-)

Bruno010

Invité

Re : Séries numériques.

Merci Glozi et bridgslam pour toutes ces précisions. :-)

bridgslam

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Re : Séries numériques.

Bonjour,

Intéressant, ça me rappelle un peu les notions de partie maigre, quand on s'intéresse au théorème de Baire.
Vu la multiplicité des points de vue, difficile de trancher, à mon niveau en tout cas.

Bonne soirée

A.

Bruno010

Invité

Re : Séries numériques.

Bonjour,

Pour sauver ce fil du naufrage, on reprend,

- [tex]S[/tex] est l'ensemble des suites numériques [tex](u_{n})_{ n \geq 0 }[/tex].
- [tex]SD[/tex] est l'ensemble des suites numériques [tex](u_{n})_{ n \geq 0 }[/tex] telles que [tex]\sum_n u_n[/tex] est divergente.
- [tex]SC[/tex] est l'ensemble des suites numériques [tex](u_{n})_{ n \geq 0 }[/tex] telles que [tex]\sum_n u_n[/tex] est convergente.

Par négligeable, j'entends,
Si [tex]S[/tex] est l'ensemble des suites numériques [tex](u_{n})_{ n \geq 0 }[/tex], et si [tex]SD[/tex] est l'ensemble des suites numériques [tex](u_{n})_{ n \geq 0 }[/tex] telles que [tex]\sum_n u_n[/tex] est [tex]divergente[/tex], alors, [tex]SD[/tex] est dense dans [tex]S[/tex] pour une certaine topologie naturelle définie sur [tex]S[/tex].

Par négligeable, Glozi entend,
Si [tex]S[/tex] est l'ensemble des suites numériques [tex](u_{n})_{ n \geq 0 }[/tex], et si [tex]SC[/tex] est l'ensemble des suites numériques [tex](u_{n})_{ n \geq 0 }[/tex] telles que [tex]\sum_n u_n[/tex] est convergente, alors, [tex]SC[/tex] est d’intérieur vide dans [tex]S[/tex] pour une certaine topologie naturelle définie sur [tex]S[/tex].

Ces deux définitions sont équivalentes.

Glozi

Invité

Re : Séries numériques.

Bonjour,
Si on remet la topologie produit sur $S=\mathbb{R}^\mathbb{N}$, alors $S_0$ (ensemble des suites qui convergent vers $0$) est non seulement d'intérieur vide mais c'est aussi une partie maigre (contenue dans une réunion dénombrable de fermés d'intérieurs vides).

▼pourquoi ?

En effet, pour $N\in \mathbb{N}$ fixé, notons $E_N\subset S$ l'ensemble des suites bornées par $N$. Alors :
1. $E_N$ est un fermé de $S$.
2. $E_N$ est d'intérieur vide.

Pour $1$, il suffit de voir que si $(u_n)_n$ est dans le complémentaire de $E_N$, on peut trouver $n_0$ tel que $|u_{n_0}|>N$, on peut alors prendre un ouvert produit $U = \prod_{k=0}^{n_0-1}\mathbb{R}\times ]u_{n_0}-\delta, u_{n_0}+\delta[\times \prod_{k=n_0+1}^\infty \mathbb{R}$ en choisissant $\delta>0$ de sorte que $[-N,N]\cap ]u_{n_0}-\delta, u_{n_0}+\delta[=\emptyset$. Cet ouvert n'intersecte pas $E_N$ et contient la suite $u$. (autre preuve plus directe en écrivant $E_N = \bigcap_{k\geq 0} p_k^{-1}([-N,N])$, où les $p_k$ sont les projections).

Pour $2$, il suffit de voir que tout ouvert non vide pour la topologie produit contient des suites non bornées.

Enfin, puisque toute suite convergente est bornée on a bien $S_0 \subset \bigcup_{N\geq 0}E_N$ est bien maigre.

(remarque : on pourra remarquer que $S_0$ lui même n'est pas fermé ce qui aurait rendu ce qui est au dessus complètement inutile !)

Bonne journée

Bruno010

Invité

Re : Séries numériques.

Bonsoir,

Juste une petite question Glozi si je peux me permettre,

-Probabiliste.
On prend une suite de variables aléatoires $(X_n)$ indépendantes et de même loi telle que $\mathbb{P}(X_0\neq 0)>0$, alors presque sûrement (avec probabilité $1$), la suite $(X_n)_{n\geq 0}$ ne converge pas vers $0$ et n'est donc pas dans $SD$, en effet puisque $\mathbb{P}(X_0\neq 0)>0$, on peut trouver $\delta>0$ tel que $\mathbb{P}(|X_0|>\delta)>\delta$, le lemme de Borel Cantelli dit alors que presque sûrement une infinité d'évènement $\{|X_n|>\delta\}$ va se produire empêchant donc la convergence vers $0$.

Comment passez vous de :
... en effet puisque $\mathbb{P}(X_0\neq 0)>0$, ...
à :
... on peut trouver $\delta>0$ tel que $\mathbb{P}(|X_0|>\delta)>\delta$ ...

Merci d'avance.

Glozi

Invité

Re : Séries numériques.

On a $\mathbb{P}(X_0\neq 0)=\mathbb{P}(\bigcup_{N\geq 1}|X_0|>2^{-N}) = \lim_{N\to \infty}\mathbb{P}(|X_0|>2^{-N})$.
La première égalité vient d'une égalité entre les évènement considérés, la deuxième est simplement le théorème de la limite monotone (la famille des évènements $\{|X_0|>2^{-N}\}$ étant croissante en $N$).
Puis par définition de la limite et puisque $\mathbb{P}(X_0\neq 0)>0$ on a un $N_0$ tel que si $N\geq N_0$ alors $\mathbb{P}(|X_0|>2^{-N})>\mathbb{P}(X_0\neq 0)/2$. (pour avoir le même $\delta$ à l'intérieur et à l'extérieur, il suffit de prendre $\delta=\min(2^{-N_0}, \mathbb{P}(X_0\neq 0)/2)$).