Forum de mathématiques - Bibm@th.net

PGCD

Membre

Inscription : 05-01-2024

Messages : 1

Problème Thalès

Bonsoir à tous,

Actuellement en train de réviser Thalès, je bute sur un exercice :

"Soit un triangle ABC, et O le milieu du segment BC. Les perpendiculaires à (AO) passant par B et C coupent (AO) respectivement en E et F.

1) Faire une figure
2) Démontrer que O est le milieu du segment EF - Je bute principalement sur cette question
3) En déduire que BECF est un parallélogramme

Cela semble relativement simple mais je ne sais pas quelle est la clé du problème après l'avoir retourné dans tous les sens.
Votre aide est la bienvenue ! Merci d'avance !

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 348

Re : Problème Thalès

Bonjour,

  Il faut appliquer le théorème de Thalès dans sa configuration "papillon".
Que vaut, en appliquant le théorème de Thalès, $\frac{OE}{OF}$?

F.

Roro

Membre expert

Inscription : 07-10-2007

Messages : 1 801

Re : Problème Thalès

Bonsoir,

Il s'agit effectivement d'appliquer le théorème de Thalès.
Une indication : il s'agit d'un cas "croisé" de ce théorème. Voir par exemple la troisième figure ici : https://www.bibmath.net/dico/index.php? … hales.html

Roro.

P.S. Grillé par Fred (croisé = papillon)

Dernière modification par Roro (05-01-2024 17:31:04)

Bernard-maths

Membre Expert

Lieu : 34790 Grabels

Inscription : 18-12-2020

Messages : 1 862

Re : Problème Thalès

Bonsoir !

On peut très simplement aussi considérer les 2 triangles rectangles OBE et OCF, qui ont hypoténuseségales (O milieu de [BC]) et angles opposés en O égaux ... ils sont isométriques ... O milieu de [EF] ... BECF parallélo ...

B-m

Réponse

Invité

Re : Problème Thalès

Bonjour, merci à tous pour vos réponses,

Je pense avoir trouvé la réponse :

D'après l'énoncé (EF) et (BC) sont sécantes en O et (BE)//(FC).
Donc d'après le théorème de Thalès on a :

OB/OC=OE/OF=EB/CF

Toujours d'après l'énoncé (BE) et (FC) sont perpendiculaires à (EF), donc par parallélisme (EC)//(FB).
Donc d'après le théorème de Thalès on a :

OF/OE=OB/OC=BF/EC

Par égalité on obtient donc : OB/OC=OE/OF=OF/OE=EB/CF=BF/EC
OE/OF=OF/OE donc par produit en croix on obtient :
OFxOF=OExOE
OF=OE
OF=OE

Donc F est le milieu du segment EF car OF=OE.

Merci à vous !