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Tyulee678

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Problème avec les nombres complexes

Bonjour,
Je suis en terminale , j'ai un devoir sur les nombres complexes et je suis totalement perdue, voici l'exo (pour ceux qui ne comprennent pas ce que j'ecris : exercice 150 https://www.lelivrescolaire.fr/page/13110512 ) :
Partie A : Racine carrée d’un nombre complexe
Soit α=a+ib un nombre complexe, où a et b sont réels. On cherche à déterminer s’il existe un nombre complexe z tel que z²=α.
On pose z=x+iy, où x et y sont deux réels.
1. Montrer que si z est une solution de l’équation z²=α, alors il en est de même de −z.

2. Montrer que z est solution de z²=α si, et seulement si,x et y vérifient le système suivant :

x²−y²=α
2xy=b
x²+y²= racine de a²+b²
3. a. Montrer que si b>0, alors une solution de l’équation z²=α est donnée par
(Racine de 1/2×(a+(racine de a²+b²)))+i(racine de 1/2×((a²+b²)-a²))
Déterminer une deuxième solution de l’équation étudiée.
b. Montrer que si b<0, alors une solution de l’équation z²=α est donnée par
(Racine de 1/2×(a+(racine de a²+b²)))-i(racine de 1/2×((a²+b²)-a²))
Déterminer une deuxième solution de l’équation étudiée.
4. À l’aide de la question 2., déterminer tous les nombres complexes z tels que :
a. z²=2i
b. z²=3−4i
Alors le problème ici pour moi commencentsur les  questions 3a et 3b. Je ne comprend absolument pas comment faire.
J'ai beaucoup de mal en maths expertes et je ne comprends absolument pas cette exercice, si quelqu'un pouvait m'éclairer (ou juste me guider un peu) j'en serais très reconnaissante :(
Merci d'avance !

cloporte

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Re : Problème avec les nombres complexes

Salut,

Alors pour commencer tu vas essayer de déterminer x et y à partir du système, en soustrayant/additionnant des lignes tu isoles les 2 et tu trouveras $x = \pm \sqrt {(a+\sqrt{a²+b²}/2)} $ et $y = \pm\sqrt {(-a+\sqrt{a²+b²}/2)} $.
D'après le système de base, on a b = 2xy. Si b est positif ce n'est pas un problème et on trouve le premier résultat, or si il est négatif alors x ou y est négatif et tu auras a+ib = (x-i|y|)² ou (-|x|+iy)². Or, (-|x|+iy)² = (-1(|x|-iy))² = (|x|-iy)², c'est bien le résultat attendu!

J'espère que c'était clair, si tu as d'autres questions n'hésite pas :-)

Dernière modification par yoshi (02-01-2024 19:56:47)