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Galois45

Invité

Matrice Jacobienne.

Bonsoir,

Soit [tex]f \ : \ \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3[/tex] une fonction différentiable sur [tex]\mathbb{R}^3[/tex] définie par, [tex]f(x,y,z) = (f_1 (x,y,z) , f_2 (x,y,z) , f_3 (x,y,z) )[/tex].
On considère sa matrice Jacobienne en tout point, [tex]J_f (x) = \begin{pmatrix} \dfrac{ \partial f_{1} }{ \partial x } & \dfrac{ \partial f_{1} }{ \partial y } & \dfrac{ \partial f_{1} }{ \partial z } \\ \dfrac{ \partial f_{2} }{ \partial x } & \dfrac{ \partial f_{2} }{ \partial y } & \dfrac{ \partial f_{2} }{ \partial z } \\ \dfrac{ \partial f_{3} }{ \partial x } & \dfrac{ \partial f_{3} }{ \partial y } & \dfrac{ \partial f_{3} }{ \partial z } \end{pmatrix}[/tex].
On suppose que la trace de la matrice jacobienne est nulle. ( i.e : [tex]\mathrm{Tr} (J_f ) = 0[/tex] )
D’après le lien suivant, https://www.cpge-brizeux.fr/wordpress/w … /ds223.pdf , il existe [tex]A = A(x,y,z)[/tex], [tex]B = B(x,y,z)[/tex] deux matrices telles que, [tex]J_f = [A,B] = AB - BA[/tex].
Pouvez vous s'il vous plaît me dire s'il y a moyen de trouver concrètement ces deux matrices [tex]A[/tex] et [tex]B[/tex] telles que, [tex]J_f = [A,B] = AB - BA[/tex] en fonction de [tex]f_1[/tex] , [tex]f_2[/tex] et [tex]f_3[/tex] ?

Merci infiniment.

LCTD

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Messages : 101

Re : Matrice Jacobienne.

bonjour,
Pour ma part, dans un premier temps j'irai de manière frontal en faisant un calcul pénible et voir où cela mène.

$
  A_{3\times 3} =
  \begin{pmatrix}
    a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
    a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
    a_{31} & a_{32} & a_{33}
  \end{pmatrix}
$
$B_{3\times 3} =
  \begin{pmatrix}
    b_{11} & b_{12} & b_{13}\\
    b_{21} & b_{22} & b_{23}\\
    b_{31} & b_{32} & b_{33}
  \end{pmatrix}
$

calcul de AB-BA puis égalité terme à terme avec Jf(x) et Tr(AB-BA)=Tr(Jf(x))

JackJonson

Invité

Re : Matrice Jacobienne.

Regarde dans le corrigé de l’exercice 10 question b, il y a une méthode explicite
https://www.normalesup.org/~page/Enseig … lgebre.pdf

Fred

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Messages : 7 349

Re : Matrice Jacobienne.

Bonsoir,

  Merci pour le lien. En particulier on peut toujours choisir une des deux matrices diagonale, et même diag(1,2,3) ici, ce qui facilite beaucoup le choix de l'autre matrice par la méthode de Leg.

F.

Galois45

Invité

Re : Matrice Jacobienne.

Merci beaucoup pour toutes ces réponses, à @JackJonson, à @LCTD et à @Fred.  :-)