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tibo

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approximation par la méthode de LaGrange [Résolu]

bonjour tout le monde,

J'ai un exo ou je dois comparer différentes méthode d'approximation d'un nombre (dichotomie, Lagrange, fausse position, newton Raphson,...) et leur rapidité de convergengence.
Je bloque sur la méthode de Lagrange.

Soit une fonction de classe C² définie sur [a,b] dans R tel que f(a)f(b)<0 et (f'f">0 ou f'f"<0)
Donc il un unique d appartenant à [a,b] tel que f(d)=0

en français, soit une fonction strictement croissante ou décroissante, convexe ou concave sur [a,b] coupant l'axe (Ox) en d
le but est de approcher d.

soit (Un) suite définie par:
U0=a
Un+1 est l'intersection de l'axe (Ox) et la droite (PMn) tel que
P point de Cf (courbe de f) fixe
Mn point de Cf d'abscisse Un

(je vous conseille de faire un dessin pour mieux visualiser)

L'exercice suppose que l'on a déja démontrer que (Un) monotone convergente vers d.

exprimer Un+1 en fonction de Un.

J'ai essaye de conjecturer pour me donner une idée de se que je dois trouver, mais même ça j'y arrive pas:

La droite (PM0) a une équation de la forme Ax+B avec
A=(f(U0)-f(a))/(U0-b)
Je ne trouve pas B
et A.U1+B=0

Je ne vois pas comment faire. Pouvez vous m'aider?
Merci d'avance

Fred

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Re : approximation par la méthode de LaGrange [Résolu]

Salut,

  Il suffit juste de dire que la droite (PM0) passe par M0.
Et donc on a f(U0)=A U0+ B, ce qui te donne B puisque tu as déjà calculé A.

Fred.

tibo

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Re : approximation par la méthode de LaGrange [Résolu]

bonsoir,

Je ne connais pas l'ordonnée de M0, donc je ne vois pas en quoi ça m'avance

merci

Fred

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Re : approximation par la méthode de LaGrange [Résolu]

Re-

  Si tu connais l'ordonnée de M0, c'est f(U0)....
Peut-être je me suis trompé avec les notations que tu avais au début,
mais voila ce qu'on peut faire :
P est un point fixe, ses coordonnées sont disons (c,f(c)).
Mn est le point de la courbe d'abscisse Un, et donc d'ordonnée f(Un).

La droite (PMn) d'équation Y=AX+B a pour coefficient directeur A=(f(c)-f(Un))/(c-Un).
Tu trouves B comme je te l'ai dit dans mon post précédent,
sachant que f(Un)=AUn+B, et que tu connais A.
Bien sûr, tu auras U(n+1) en fonction de U(n) et de f(U(n))...
Je ne vois pas ce qui te gêne!

F.

tibo

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Re : approximation par la méthode de LaGrange [Résolu]

certe
Merci beaucoup