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Fred

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D'une somme à l'autre...

Bonjour,

  Voici un exercice que j'ai rencontré dans un livre de spécialité Terminale, rubrique "défi".

Soit $(a_n)$ une suite de nombres réels telles que, pour tout $n\geq 1,$ $a_1+2a_2+\cdots+na_n=\frac{2n+2}{n+2}.$
Calculer $\lim_{n\to+\infty}\sum_{k=1}^n a_k.$

Je sais faire cet exercice et ma méthode n'utilise rien qui n'est pas au programme de Terminale. Je l'ai écrite ci-dessous en version cachée pour ne pas vous influencer. Néanmoins, il me semble illusoire qu'elle soit "trouvable" par un élève de Terminale sans aucune indication. Alors je me dis qu'il y a plus simple (peut-être plus astucieux) mais pour le moment je ne vois pas. Et vous?

▼Ma méthode

En faisant la différence de deux sommes consécutives du type $\sum_{k=1}^n ka_k$, j'ai trouvé la valeur de $a_n.$
Puis, en triturant $a_n$ (en faisant une décomposition en éléments simples pour employer des termes savants), j'ai trouvé que, pour $n\geq 1,$ $a_n=\frac1n-\frac2{n+1}+\frac1{n+2}$.
On se ramène alors à une somme télescopique 3 par 3....

Fred.

Zebulor

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Re : D'une somme à l'autre...

Salut Fred,
Je n ai pas regardé ta méthode ..

▼La mienne

J’ai écrit $\sum_{k=1}^n k a_k.$ pour n=1 puis 2..3.. et en ai déduit $a_2$ puis $a_3$ , puis une expression générale de $\sum_{k=1}^n a_k.$
Tout ça avec des techniques de simplification par télescopage ..
Et je trouve 1.5 pour la limite.

Dernière modification par Zebulor (14-11-2023 16:49:53)

Fred

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Re : D'une somme à l'autre...

▼@ Zebulor

Plus ou moins la même démarche que moi...