Elévation au carré dans une équation

fondue17 · 26-09-2023 14:35:28

Bonjour,

Dans le cadre d'un exercice de seconde sur les variations de la fonction carré, la solution contient cette phrase :

Pour 0 < a < b, on a : b -a > 0 ; ainsi b² − a² > 0 <=> b² > a²

Je comprends globalement mais moins le fait qu'on passe de b-a > 0 à b² − a² > 0

On a le droit d'élever des termes au carré dans une inéquation, c'est à dire de multiplier chaque terme par lui-même ?
Quelles sont les règles finalement ?

Edit : D'ailleurs je me rends compte que j'ai du mal à bien comprendre en plus de l'élévation au carré, l'usage de la racine carré dans une équation, par exemple : x² = 3 <=> √x² = √3

Dernière modification par fondue17 (26-09-2023 15:03:38)

yoshi · 26-09-2023 17:56:54

F-11Bonjour,

Plusieurs choses...

Commençons par la fin.
Il me semble utile de rappeler la définition de $\sqrt a$ avec $ a\geqslant 0$ :
c'est le nombre b positif tel que $b^2 = a$...

Et donc $\sqrt 3$; c'est le nombre $x$ tel que $x^2=3$Les solutions de $x^2 = 3$ peuvent s'obtenir ainsi : $x^2 = 3 \Leftrightarrow x^2-3=0$
Qu'on peut encore écrire $x^2-(\sqrt 3)^2=0$
Et on constate qu'il y a le produit remarquable $a^2-b^2 =(a-b)(a+b)$ où $a$ est $x$ et $b$ est $\sqrt 3$ :
$x^2-(\sqrt 3)^2=0 \Leftrightarrow (x-3)(x+3)=0 $ équation-produit de type classe de 3e qui a deux solutions : $x=-3$ et $x=3$

Je remonte le courant.
Soit l'inégalité $-3 < 2$

On peut ajouter ou soustraire un même nombre (positif ou négatif - même nul, mais ça servirait à quoi ?) aux deux membres d'une inégalité : $-3 < 2 \Leftrightarrow -3-5<2-5 \Leftrightarrow -8<-3$ ; $-3 < 2 \Leftrightarrow -3+5=2+5\Leftrightarrow 2 < 7 $

On peut multiplier les deux membres d'une inégalité par un nombre positif sans changer l'ordre :
$-3 < 2 \Leftrightarrow -3\times 10 < 2\times 10 \Leftrightarrow -30 < 20$

Par contre, si je multiplie les deux membres par un nombre négatif, que se passe-t-il ?
$-3 < 2\Leftrightarrow -3\times (-10) ? 2 \times (-10)$

Réponse :
$-3\times (-10)= 30$ et $2 \times (-10)=-20$ et on voit qu'on a $30 >-20$...
Alors :
$-3 < 2\Leftrightarrow -3\times (-10) > 2\-times (-10)$ : a changé...

La multiplication par un nombre négatif change l'ordre.
------------------------------------------------------------------------------------------
Et si on ajoute, soustrait des inégalités entre elles ?
D'abord, si $x <6$ et $y>9$ que peut-on dire de $x+y$ ?
Rien... il manque une information chaque fois...
Pour additionner des inégalités, elle doivent avoir le même sens.
Si elles sont de même sens, l'addition ne pose pas de problème...
Exemple
Soit
$\begin{cases} x <6\\
\quad\text{ et}\\
y<9\end{cases}$
Avec $x<6$ et $y< 9$, on obtient $x+y<15$
Mais
est-ce que $x-y<6-9$ soit $x-y<-3$ ?

$x<6$, je prends $x=5$
$y<9$ je prends $y=3$
$x-y=5-3 =2$

Et on constate que non, $x-y$ n'est pas toujours inférieur à -3
Donc, non, je ne peux pas soustraire de cette façon...
Voyons si on peut contourner lr problème en passant par l'addition
Rappelons-nous notre classe de 5 et des leçons sur les nombres relatifs : soustraire 2 nombres a et b, c'est ajouter à a l'opposé du nombre b a-b = a+(-b)
Essayons d'encadrer $x+(-y)$.
On repart avec $x<6$ et $y<9$. Ont écrire $-y>-9$ (multiplier par un nombre négatif change l'ordre !)
On remet cette égalité dans le bon sens : $-9<-y$
Et donc que peut-on dire de $x+(-y$)
$\quad x<\;\;6$
$ -9<-y$
Rien !
La limite inférieure de $x$ est inconnue, donc lui ajouter -9 n'a pas de sens,
la limite supérieure de $-y$ n'est pas connue, donc lui ajouter 6 n'a pas de sens non plus...

**********************
Cas des opérations entre doubles inégalités :

soit $\begin{cases} 6 <x <10\\
\quad\text{ et}\\
4<y<15\end{cases}$

Je cherche un encadrement de $x+y$
1. je vérifie que les 2 inégalités sont de même sens
2. j'additionne membre à membre :
$\begin{cases} 6 <x <10\\
4<y<15\end{cases}$
qui donne $6+4<x+y<10+15$ soit $10< x+y< 25$

Que se passerait-il avec un encadrement de $x-y$ ? J'aurais le droit de soustraire membre à membre ?
Voyons cela :
6-4 ? x-y ? 10-15 ou encore 2 ? x-y ? -5
Je ne peux pas remplacer ? par < car 2 n'est pas inférieur à -5.
Alors, là aussi, il faut revenir à l'addition.

Donc, là aussi, pour encadrer $x-y$, on va essayer d'encadre $x+(-y)$ (il y a 2 bornes dans de cas)
L'inégalité n°2 devient ( attention on multiplie par -1, ce qui change l'ordre) :
$-4 >-y>-15$...
Mais maintenant les inégalités n°1 et n°2 n'ont plus le même sens, on fait quoi ?
Réponse : $-4 >-y>-15\Leftrightarrow -15 < -y<-4 $
Mais... on la remet dans le bon sens, et on additionne membre à membre :
$\begin{cases}\quad 6 <\;\;\;x\; <\;10\\
-15<-y<-4\end{cases}$
qui donne $6+(-15)<x+(-y)<10+(-4)$

$6+(-15) < x+(-y) < 10+(-4) \Leftrightarrow -9 < x - y < -6$

------------------------------------------------------------------------

Je comprends globalement mais moins le fait qu'on passe de$ b-a > 0$ à $b^2 − a^2$ > 0

Pour passer de $b-a$ à $b^2-a^2$, on a multiplié par $b+a$.
Or, avec $0<a<b$ on a : $(b+a)>0$,
La multiplication par un nombre positif ne change pas l'ordre donc
$b-a >0 \leftrightarrow (b-a)(b+a)>0 \leftrightarrow b^2-a^2>0$

-- J'espère ne pas avoir laissé de coquille ;-) --

@+

[EDIT] J'ai tenu compte de la suggestion de Roro. Merci à lui

Dernière modification par yoshi (13-10-2023 14:07:34)

Roro · 26-09-2023 20:00:14

Bonsoir,

yoshi a écrit :

-- J'espère ne pas avoir laissé de coquille ;-) --

peut être une : je remplacerai

yoshi a écrit :

Il me semble utile de rappeler la définition de $\sqrt a$ avec $ a\geqslant 0$ :
c'est le nombre b tel que $b^2 = a$...

par : la définition de $\sqrt a$ avec $ a\geqslant 0$ :
c'est le nombre positif b tel que $b^2 = a$...

Roro.

yoshi · 26-09-2023 20:42:51

Salut Roro,

Ta suggestion a eu raison de mon hésitation...
Pour tout te dire, après réflexion, je l'avais volontairement omis parce qu'ayant pesé le pour et le contre : je me suis demandé sérieusement si, en ajoutant la précision tout de suite, je n'allais pas ajouter à la confusion du demandeur.
Je projetais d'y revenir lorsqu'il aurait réglé ses problèmes, au besoin en provoquant son questionnement.

Mais ta suggestion a fait pencher la balance. Merci. Modif effectuée.
Après, il restera sur les racines carrées d'autres points à préciser comme par exemple $\sqrt{x^2}$...
Dire que le traitement des doubles inégalités (encadrement de x-y) se traitaient en 4e, il fut un temps et parce qu'on demandait un encadrement à $10^{-n}$ (n était souvent égal à 2 ou 3 à partir de calculs débouchant sur une précision supérieure.
Voilà d'ailleurs un moment que çe type d'exos (et pas mal d'autres aussi...) a disparu des programmes.

@+

fondue17 · 03-10-2023 15:26:25

Bonjour,

et merci pour les explications et le rappel de règles que je résume ici :

- On peut ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres d'une inégalité
- On peut multiplier les deux membres d'une inégalité par un nombre positif sans changer l'ordre
- La multiplication par un nombre négatif change l'ordre.
- Pour additionner des inégalités, elle doivent avoir le même sens.

Si j'ai bien compris on n'élève pas au carré les termes d'une équation, on multiplie par un nombre, ici (b+a).
Et pour la racine carré, on part finalement de la définition.

OK, merci, ca devrait aller mieux maintenant !

Sinon il y a une petite coquille : y<9 je prends x=3 ---> y=3

yoshi · 03-10-2023 16:24:40

FRE,

Coquille (c'est bien de l'avoir décelée) corrigée. Merci
Il restait encore 2 à 3 fautes de frappe...

@+
[EDIT]
Attention !
Ça m'avait échappé
Comment comptais-tu passer à $b^2-a^2$ en partant de $b-a$ et en l'élevant au carré ??
En effet
$(b-a)^2 = b^2 -2ab+a^2$ On arrive à $+a^2$ et non $-a^2$. En outre, tu fais quoi du $-2ab$ ?
alors que :
$(b-a)(b+a) = b^2 -a^2$

Tu as oublié tes Produits Remarquables ?

Dernière modification par yoshi (03-10-2023 16:34:36)

fondue17 · 11-10-2023 15:07:59

Bonjour,

c'est justement l'objet de mon post !

1) comment l'auteur du problème parvient à cette solution

Pour 0 < a < b, on a : b -a > 0 ; ainsi b² − a² > 0 <=> b² > a²

2) et plus largement quelles sont les règles concernant l'élévation au carré, ainsi que l'usage de la racine carré, dans une équation ou une inéquation.

Zebulor · 11-10-2023 16:17:43

Bonsoir,
peut être que tu peux répondre à la question 1 avec ce que précise yoshi : $(b-a)(b+a) = b^2 -a^2$

yoshi · 11-10-2023 17:45:48

Bonjour,

Pour 0 < a < b, on a : b -a > 0 ; ainsi $b^2 − a^2 > 0 \Leftrightarrow b^2 > a^2$

Je croyais avoir répond...
Mais ce n'est pas grave, je reprends (mes élèves avaient pour consigne de questionner tant que ma réponse ne les satisfaisaient pas. Et j'ajoutais : Bon, si vous me posez la même question 10 fois de suite, il est hautement probable que le vent se mette à souffler très fort... Alors abritez-vous, laissez souffler et quand la tempête sera passée, posez votre question une onzième fois et je répondrai en essayant de trouver une autre explication, ou de la découper en tranches plus fines...)
Donc reprenons...
On part de $0<a<b<0$, inégalité stricte...

Il y a un sacré paquet d'années, on définissait l'écriture $a<b$ :
Quels que soient $a, b \in \mathbb R$, $a<b \Leftrightarrow b-a \in \mathbb R^+$, puis un jour, elle disparu des programmes (je me demande si ça n'a pas disparu au moment de l'abandon de l'enseignement des mathématiques "modernes")....

Bref, puisque $0<a<b$, on en en déduit deux choses ;
1. a et b sont deux nombres strictement positifs,
2. $b-a>0$ et bien sûr $b+a >0$ aussi

Partons de :
$b-a > 0$
On multiplie les 2 membres de l'inéquation par $(b+a)$ : comme $b+a>0$ et comme on peut multiplier les 2 membres d'une inégalité par un même nombre positif sans changer l'ordre, alors
$b-a > 0 \Leftrightarrow (b-a)(b+a) > 0 \times (b+a) \Leftrightarrow b^2-a^2 >0$
Et si j'écris $b^2-a^2>0\Leftrightarrow b^2>a^2$ à cela il y a 2 explications :
1. La définition citée plus haut
2. La règle qui dit : on peut ajouter un même nombre aux deux membres d'une inégalité sans changer l'ordre.
Donc $b^2-a^2>0\Leftrightarrow b^2-a^2 +a^2> 0+a^2\Leftrightarrow b^2>a^2$
Rappel
$b^2+2ba+b^2=(b+a)^2 $
$b^2-2ba+b^2 =(b-a)^2$
$b^2-a^2= (b-a)(b+a)$

Et le seul moyen de passer de $b-a$ à $b^2-a^2$ c'est donc de multiplier $(b-a)$ par $(b+a)$
Cela répond-il à ta question ?
En cas de réponse négative, alors réfléchis et dis-moi précisément où tu bloques...

Carrés et racines dans une équation

Equations

Concernant les élévations au carré dans une équation, pas de souci :
Si 2 quantités sont égales, leurs carrés le sont aussi.
Quels que soient $a, b \in \mathbb R$, si $a=b$ alors $a^2=b^2$

Racines carrées : attention dans ce cas que ces quantités soient positives ou nulles (la racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas)
Quels que soient $a , b \in \mathbb R$, si $a=b$ alors $\sqrt a=\sqrt b$

Cas des inégalités et des inéquations

Là, attention...
La fonction carré est décroissante sur $-\infty\,;\;0]$ et croissante sur $[0\,;\,+\infty[$
On en déduit que
Quels que soient $b,a \in \mathbb R^-$ tels que $a<b<0$ alors $a^2 > b^2$
Exemple $ -3 <-2$ mais $(-3)^2>(-2)^2$ (9 >4)

Quels que soient $b,a \in \mathbb R^+$ tels que $0<a<b<0$ alors $a^2 < b^2$
Exemple $ 2 < 3 $ et s $2^2<3^2$ (4<9)...
Là, tu devrais me dire :
Et si j'ai $a<0$ et $b >0$ j'ai toujours $a<b$, alors ?
Eh bien, tu ne peux pas répondre tout de suite, il te faut un renseignement supplémentaire et même dans beaucoup de cas, tu ne peux pas répondre du tout...
2 exemples pour que tu comprennes :
-2 < 3 d'où $(-2)^2 < 3^2$ (4<9)
Mais
-3 < 2 d'où $(-3)^2 > 2^2$ (9>4)
Tu as besoin de la valeur absolue...

Là ce sont des inégalités, tu as les valeurs, tu t'en sors...
Mais si tout ce que tu sais, c'est que $a<0<b$, tu es dans l'incapacité de comparer $a^2$ et $b^2$

Quant à la racine carrée a et b doivent être positifs....
Et comme sur $\mathbb R^+$ ,la fonction racine carrée est strictement croissante
$0<a<b\Leftrightarrow 0<\sqrt a < \sqrt b$

@+

[EDIT]L'ami Zebulor va dire que je suis très (trop ?) bavard... Je sais, comme disait La Fontaine : c'est là mon moindre défaut...^_^
Mais j'ai eu la sensation que son questionnement allait au delà et que ma première réponse n'avait pas été assez complète...

Dernière modification par yoshi (11-10-2023 17:51:39)

Zebulor · 11-10-2023 19:48:31

re,

yoshi a écrit :

[EDIT]L'ami Zebulor va dire que je suis très (trop ?) bavard... Je sais, comme disait La Fontaine : c'est là mon moindre défaut...^_^
Mais j'ai eu la sensation que son questionnement allait au delà et que ma première réponse n'avait pas été assez complète...

Je ne sais pas si c'est un défaut l'ami Yoshi... mais un post de fondue17 suggère en effet qu"il lui faut une réponse complète...^_^
et en même temps je me suis dit que fondue17 s'est peut être noyée dans trop d'informations. C'est tout l'art du dosage que je me maîtrise pas bien. Par exemple dans ce post j'ai trop écrit.

Dernière modification par Zebulor (12-10-2023 10:54:47)

jelobreuil · 12-10-2023 21:08:26

Bonsoir Yoshi,
J'ai lu cette discussion avec intérêt, et je ne cesse de m'étonner de la faiblesse du niveau en maths de la majorité des écoliers actuels ... Il me semble qu'on privilégie l'application de "règles" ou de "recettes" de manipulation de symboles, au détriment de la compréhension profonde de telles opérations ... Mais comme je suis très loin du terrain, mon opinion est certainement biaisée ...
Je me permets de te signaler que dans le message n° 2, un "-11" apparaît au lieu d'un "-15", au début de la troisième ligne avant la dernière ligne en tireté ... Je suppose que tous les lecteurs, emportés dans leur élan, sont passés largement au-dessus, mais je dois dire que j'ai eu l'occasion, dans l'exercice de ma profession, de développer une aptitude certaine à détecter de telles coquilles dans un texte que je lis ... et que cette aptitude peut encore servir, à l'occasion ...
Bien amicalement, Jean-Louis

Zebulor · 13-10-2023 14:11:56

re,

jelobreuil a écrit :

Il me semble qu'on privilégie l'application de "règles" ou de "recettes" de manipulation de symboles, au détriment de la compréhension profonde de telles opérations ...

On part dans une discussion de café mathématique.. avec le recul du moins pour ce qui me concerne l'application de recettes m'était utile quand j'etais en collège niveau 3eme, sans être nécessairement un obstacle à la compréhension.. J'ai même tendance à croire qu'il faut un minimum de recettes du moins au niveau collège. Mais je n'ai pas le recul que peut avoir un enseignant comme ..yoshi

yoshi · 13-10-2023 14:29:20

Re,

Merci, je vais corriger.
Après le message de la miss, j'avais pourtant tout revérifié. Voilà qui conforte l'adage : on ne voit que ce qu'on s'attend à voir...

Pourquoi l'avis de quelqu'un d'extérieur (même "très loin du terrain") serait-il biaisé ? Et celui de quelqu'un totalement immergé, qui a très souvent "le nez dans le guidon", alors, pourquoi ne le serait-il pas, ou moins ?
De mes débuts à ma retraite, j'avais pu faire ce constat (biaisé) : toute notion qui ne passait pas (ou mal), après un certain temps était vouée à passer à la trappe...
Les programmes de Collège de 2015 ont été modifiés en 2020 pour tenir compte de la position de la France dans les classements internationaux...
Depuis 2007, où j'ai pris ma retraite, mon constat est resté le même...
Je plains sincèrement les Profs de Lycée qui ont dû (et continuent) à faire avec...
Avant de te répondre, j'ai fouillé Internet pour retrouver les Programmes Officiels : je dois rouiller parce que j'ai eu beaucoup de mal à les trouver...
Je cherchais 2 choses :
un élève de 3e sait-il toujours résoudre un système de 2 équations du premier degré à 2 inconnues. J'avais l'impression que non pour ne pas en avoir vu dans les sujets de Brevet 2023 que j'ai pu consultés.
Pas clair... Dans ces programmes, j'ai fait une recherche avec le mot-clé "système" : j'ai obtenu des réponses mais aucune ne mentionnait Système de 2 équations, ni n'y faisait référence...
Alors, j'ai cherché équation tout court : là, ils sont encore censés savoir faire, ouf !
Pourtant l'un des sujets que j'avais vu ne demandait pas la résolution, il se contentait de poser l'équation genre $3x-1=5$ et de proposer un QCM avec 3 items offrant une solution au choix...
Moi, je n'appelle pas ça savoir résoudre une équation, mais savoir vérifier si un nombre est solution d'une équation.

Pourtant les Programmes Officiels mentionnent expressément la résolution d'une équation y compris avec dénominateurs (!) ou se ramenant au 1er degré (équations-produits)... Alors pourquoi ce sujet de Brevet comprenant cette "résolution" avait-il été choisi? Pour donner des points ?...
En tout cas, quand j'ai passé mon Bac MathElem on ne s'embarrassait pas de ce genre de considération :
Oral obligatoire accessible avec la moyenne à l'écrit.
Dans mon centre d'examen 90 candidats sur 330 ont été admis à l'Oral : impensable aujourd'hui, ce serait la "révolution"...

JLB a écrit :

Il me semble qu'on privilégie l'application de "règles" ou de "recettes" de manipulation de symboles, au détriment de la compréhension profonde de telles opérations ..

Je suis d'accord : des "recettes de cuisine" sont bien trop souvent appliquées, empilées les unes sur les autres, qui donnent l'impression que faire des maths se résume à "cette mécanique"...
Les élèves ne sont pas responsables, les profs non plus (pour beaucoup, trop soumis) :
Je me souviens qu'un IPR lors de la présentation de nouveaux programmes (en Collège) avait martelé :
- N'utilisez que des nombres "fréquentables"
- Ne donnez pas d'exercices exigeant de la virtuosité (?!) technique
- N'enseignez pas à un niveau n+1 si vous êtes face à un niveau n

Déroger à l'un de ces principes demandait d'être clair dans sa tête (de pouvoir raccrocher la notion n+1 à la notion n, savoir jusqu'où on pouvait aller)...
Après, lorsqu'un prof de 2nde dépose une interro disant, d'habitude je donne 2 h pour la faire, mais finalement j'ai pensé qu'une heure suffirait et que les élèves tombent sur :

Exercice 1 Simplifier :
$\dfrac{3\sqrt 5+\sqrt{20}}{\sqrt{45}\left(2+\dfrac 5 6 - \dfrac 1 4\right)}$
$\dfrac{4-3^{3^3-7\times 2^2}}{\sqrt{7^2-3^2}}\div \dfrac{\left(1-\dfrac 1 2+\dfrac 1 4\right)^2}{\sqrt{3^4+3^2}}$

est-ce que c'était bien raisonnable ?
La suite l'était un peu plus quand même :

Exercice 2
a) Ecrire $2578^2$ sous la forme $a \times 10^5 + b$, où a et b sont des nombres entiers
b) En déduire la valeur exacte de $2578^4$
Exercice 3
Calculer le volume d'un cube d'arête $2\sqrt 3 -1$
Exercice 4
Calculer les 5 premiers nombres premiers de la forme $2^n – 1$

Ce 4) demandait du temps...

Et ceux qui manquaient d'imagination (et de sang froid) et qui étaient dépourvus de virtuosité maîtrise technique, mais besogneux : ils sont devenus quoi ?
Réponse certains de mes élèves sont venus me voir pour me demander mon avis.
J'ai commencé à prédire les noms de ceux qui se sont retrouvés entre 0 et 4...
Je leur ai fourni un corrigé détaillé dédramatisant le sujet, montrant bien la nécessaire analyse avant de se lancer dans les calculs, que l'énoncé avait beau sembler être impressionnant, ce n'était qu'une "illusion" parce que, en réalité, les calculs "s'arrangeaient bien" .

Peu avaient vu le rapport entre $2578^2$ et $2578^4$...

[HS] Dis-moi, fondue17 comment aurais-tu réagi devant cette interro ? Qu'aurais-tu su faire ? Que n'aurais-tu pas su faire ? Tout autre élève de 2nde peut répondre à mes questions : ça m'intéresse...
[/HS]

Et je me suis dit après mes recherches de programmes : et si la miss n'avait pas vu les Identité remarquables en 3e ?
Nouvelle recherche...
Et je n'ai trouvé que la mention de $a^2-b^2$ ce qui pourrait expliquer sa proposition de passer de $(b-a)$ à $b^2-a^2$ en élevant au carré
- ne sachant pas que $(b-a)^2=b^2-2ab+b^2$ et quelle ne se débarrasserait pas du $-2ab$
- n'expliquant pourtant pas d'avoir raté que passer de $(b-a)$ à $b^-a^2$, c'était multiplier (b-a) par (b+a) qui de surcroît était positif...

Cordialement,

@+

[EDIT] Pour aller plus loin, j'ai ouvert cette discussion :
Est-il nécessaire d'appliquer parfois des recettes avant la 2nde ?

Dernière modification par yoshi (13-10-2023 15:47:29)

cailloux · 13-10-2023 16:04:19

Bonjour à tous,

on ne voit que ce qu'on s'attend à voir...

Je ne peux m'empêcher de réagir : c'est très vrai ! Une anecdote :
Il y a très peu de temps, sur un autre forum, j'ai exhibé triomphalement une majoration d'une certaine quantité, qui, pour être pertinente, devait être inférieure à $\pi$.
J'ai lu sur ma calculette et en toute honnêteté 3.139 par excès.
Une bonne âme m'a remis les idées en place : le résultat était bel et bien 3.3139 ce qui fichait tout par terre.
En l'occurrence, j'ai vu à tort ce que je voulais voir.

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 26-09-2023 14:35:28