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beubeunoit

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Question sur l'exercice " Intégrales de Wallis-obtention d'un équival"

Bonjour,

Je voulais savoir comment avec les relations :
$(+1)I_{n+1}I_n=\frac{\pi}{2}$
et
$\frac{n+1}{n+2}\leq \frac{I_{n+1}}{I_n}\leq 1 $
et
$I_{n+1}\approx_{+\infty}I_n$

Nous trouvons que
$\frac{\pi}{2}\leq(n+1)I_n^2=\frac{\pi}{2}\frac{I_{n}}{I_{n+1}}\leq \frac{\pi}{2}\frac{n+2}{n+1}$

Comme effectué dans l'exercice s'intitulant " Intégrales de Wallis - obtention d'un équivalent" à la question n°7 sur Bibmaths Exercice intégrale de Wallis, equivalent

merci d'avance de votre réponse,
Beubeunoit

Glozi

Invité

Re : Question sur l'exercice " Intégrales de Wallis-obtention d'un équival"

Bonsoir,
De gauche à droite,
La première inégalité provient du fait que $0\leq I_{n+1}\leq I_n$ (écrire $I_n$ sous forme intégrale pour le voir) et en utilisant la première relation que tu as écrite.
L'égalité suivante provient de la même première relation que tu as écrite.
La dernière inégalité provient de la deuxième relation que tu as disposition.
(PS : il faut lire la première relation comme $(n+1)I_{n+1}I_n = \pi/2$.)

Sinon plus rapide, tu sais que $I_n \sim I_{n+1}$ et $n+1 \sim n$, donc de $(n+1)I_{n+1}I_n =\pi/2$ tu déduis $nI_n^2\sim \pi/2$, d'où $I_n\sim \sqrt{\frac{\pi}{2n}}$.
Bonne soirée