Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bob

Invité

Dérivée - Ts [Résolu]

Bonjour à toutes et tous,

en employant la formule (v o u)' = (v' o u)*u'

j'obtiens que g'(-x) = -g'(-x)  ce qui est faux car alors g'(-x) = 0 quelque soit g et x

voilà comment je fais, merci de m'indiquer ou est l'erreur...

g(-x) : x ==> -x = X ===> g(X) = g(-x)    (gou)x

u :  x ===> -x     u' = -1
g :  x ===> g(x)  g'

(gou)'  = (g'ou)*u'     x ===> -x = X =====> g'(X) = g'(-x)      c'est   (g'ou)(x)

donc (g'ou)  :   x ===> g'(-x)

(g'ou)*u'  (u' valant -1)   :   x  ===> -g'(-x)

d'ou la dérivée de g(-x) serait  -g'(-x)   ce qui me semble faux !!!! ??????

dans un pb j'aurai besoin de trouver  g'(-x) = - g'(x) 

Ou me suis trompé ?

Merci de votre aide

Au plaisir de vous lire
Votre Bob dévoué

yoshi

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Re : Dérivée - Ts [Résolu]

Salut,

Effectivement, affirmer ça comme une généralité me paraît faux.
Exemple g(x)=x²-x et g'(x)=2x-1
mais maintenant, c'est moi qui ait un souci. Si je pars de g : g(-x)=x²+x et g'(-x)=2x+1, mais si je pars de g'(x) : g'(-x)= -2x-1...
De toutes façons dans les deux cas avec ma fonction, je n'ai pas g'(-x)=-g'(x).
Quant à trouver où est l'erreur, je vais chercher plus sérieusement ! Mais je ne suis pas très à l'aise avec les écritures théoriques des dérivées des fct composées et ça m'agace (ce qui est un doux euphémisme).

Une bonne âme passera sûrement par là avant que j'aie trouvé, du moins, je l'espère pour toi !

@+

jeff

Invité

Re : Dérivée - Ts [Résolu]

Bonjour Bob ,

je pense que le problème vient du fait que tu changes X en -x dans g'(X).Cela n'est pas vrai.
Il faut voir que X'=(-x)' intervient dans le changement de variables pour les dérivées.X' est différent de x'.
On a (g(X))'=g'(X)*X'= (-x)'*g'(-x)=(g(-x))'.

yoshi

Modo Ferox

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Re : Dérivée - Ts [Résolu]

SAlut,

@Jeff :

(-x)'*g'(-x)=(g(-x))'.

Quelque chose m'échappe, tu as bien écrit (-x)' ? Et pour moi (-x)'=-1...
Quelle différence fais-tu entre ces deux écritures g'(-x)  et  (g(-x))' ? Il doit bien y en avoir une puisque tu fais le distinguo, mais elle m'échappe...

Je vais réécrire ce qu'a écrit Bob, parce que je n'ai pas l'impression qu'il ait voulu faire un changement de variable.
Je choisis la fonction f = "opposé de" . Donc g: x ---> f(x)=-x.
J'écris  :
[tex]\;\;f\,\;\;\;g[/tex]         
[tex]x \rightarrow {-x}\rightarrow g(-x)[/tex]
J'ai alors (g o f)(x)=g(-x)  et donc (g o f)'(x) = g'(-x)...
D'où :
(g o f)'(x)=(g' o f)(x) * f'(x) = g'(-x)
Or f(x) = -x d'où f'(x) =-1
Ce qui donne
(g o f)'(x)=-(g' o f)(x) = g'(-x)
Et j'arrive à :
g'(x)= -(g' o f)(x)
Mais je suis incapable de conclure quoi que ce soit d'autre...

A vous lire

jeff

Invité

Re : Dérivée - Ts [Résolu]

Bonjour,

ce que je voulais dire c'est que cela marche comme pour le changement de variable en intégration.

La dérivée de g(X) est g'(X)*dX et si X=-x alors dX=-dx d'où g'(X)*dX=-dx*g'(-x).

g'(-x) est à mon sens la dérivée de g(x) calculée au point -x et (g(-x))' est la dérivée de g(-x) calculée au point -x.

Bob

Invité

Re : Dérivée - Ts [Résolu]

Merci à tous pour votre aide, mais bien des choses m'échappent dans ce que vous dites...

Pour ma part j'ajouterai  que trouver la dérvée de (5x + 4)²  par la methode des (v o u)' = (v' o u)*u'
marche bien et je pose bien à un moment X= 5x+4
u:   x ==> 5x+4
v:   x ==> x²

y a sans doute embrouille comme le suggére Jeff avec le passage du x au -x  mais ou ???

Pouvez vous me dire si g'(-x) est bien égal à -g'(x)   j'en aurai besoin pour un pb
Merci d'avance

Yoshi, tu dis :
Et j'arrive à :
g'(x)= -(g' o f)(x)
mais (g'of)(x) c'est g'(-x)  Non ?
donc tu as obtenu g'(x) = - g'(-x)  ===> T' ES  LE  MEILLEUR
mais je ne vois toujours pas ou moi j'ai fauté !!!!  ;-(((

Au plaisir de vous lire
votre Bob dévoué

Bob

Invité

Re : Dérivée - Ts [Résolu]

Yoshi tu dis :

Ce qui donne
(g o f)'(x)=-(g' o f)(x) = g'(-x)
Et j'arrive à :
g'(x)= -(g' o f)(x)

mais en fait je ne comprends pas pourquoi t'en déduis que g'(x) = - (g'of)(x)

car pour moi (g o f)(x) c'est g(-x) mais là est peut -etre le pb !!!  d'ou (g o f)'(x) serait pour moi g'(-x)

Dieu que c'est compliqué, je comprends mieux pourquoi des potes à mes parents ont préféré garder le chévres ;-)))

yoshi

Modo Ferox

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Re : Dérivée - Ts [Résolu]

SAlut Bob,

Merci, je fais ce que je peux...
Ces écritures des dérivées de fonctions composées, telles qu'elles sont faites là, j'y suis allergique...

...mais (g'of)(x) c'est g'(-x)  Non ?

Si tu le dis...
J'espérais que Jeff (ou qq d'autre) me dise ce que c'est dans sa réponse. Hélas il n'en fut rien...
Bon, t'affole pas, je suis tombé sur un seul exercice, depuis que je sévis sur BibM@t,h où il fallait absolument par ce type d'écriture pour s'en sortir proprement.. Sinon, je m'en suis toujours sorti avec les méthodes et notations que j'ai ingurgitées quand j'avais ton âge.
Donc, y a pas péril en la demeure...
Si c'est le Bac qui te tourmente, dis-toi bien que le sujet de Math en particulier (et les autres sujets en général) sera fait en voulant éviter une hécatombe (= si résultat global < 70 % de réussite). Donc, un pt'it gars sérieux, bien sous tous rapports, ne doit pas se faire de bile...

@+

yoshi

Modo Ferox

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Re : Dérivée - Ts [Résolu]

RE,

Je vais essayer de répondre à ta 2e question. J'ai écrit (mais je marche sur des oeufs) :

(g o f)'(x)=(g' o f)(x) * f'(x) = g'(-x)
Or f(x) = -x d'où f'(x) =-1
Ce qui donne
(g o f)'(x)=-(g' o f)(x) = g'(-x)
Et j'arrive à :
g'(x)= -(g' o f)(x)
Mais je suis incapable de conclure quoi que ce soit d'autre...

On est d'accord pour les deux premières lignes ?
Ensuite, avec mes notations
g o f c'est bien f  (la fonction "opposé de") suivie de ta fonction g. Et j'ai bien : x |---> (g o f)(x) ou encore g(f(x)) soit g(-x) ? T'as le droit de pas être d'accord, même si j'estime mes chances d'erreurs assez élevées (<2 %).
Et je peux donc écrire (g o f)(x) = g(-x).
Et si deux expressions sont égales, leurs dérivées aussi : (g o f)'(x) = g'(-x).
J'ai utilisé la formule : (g o f)'(x)=(g' o f)(x)*f'(x)  mais f(x) = -x donc f'(x)=-1
Ce qui me permet d'écrire :
(g o f)'(x)= -(g' o f)(x) et donc enfin (g o f)'(x) =-(g' o f)(x) = g'(-x)

Tiens, c'est vrai ! D'où sort mon g'(x) ?
Faute de frappe sûrement : j'aurais dû écrire : g'(-x) = -(g' o f)(x)

Maintenant, pour moi, toute la question est de savoir ce que représente g' o f... A part dire que c'est la fonction "opposé de" suivie de la fonction dérivée de g : g'(f(x))... Si jamais c'est g'(-x), alors là c'est le bouquet !
**Y a-t-il un pilote dans l'avion ?**

@+

Bob

Invité

Re : Dérivée - Ts [Résolu]

Re,

Oui Yoshi je suis d'accord pour le 2 premieres lignes et même les suivantes jusqu'à :

g'(-x) = -(g' o f)(x)

Moi j'aurai la faiblesse d'affirmer que (g' o f)(x) = g'(-x)

d'ou le résultat g'(-x) = -g'(-x)  qui est en soit révolutionnaire car quelque soit g et x alors g'(-x) = 0

si le Nobel de math existait on pourrait se le partager Yoshi !  ;-))

Mais que fait la police (Fred) !!!

Merci encore Yoshi de ton aide et réconfort
A bientôt

Au plaisir de vous lire
Votre Bob dévoué

Barbichu

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Re : Dérivée - Ts [Résolu]

Hi ! (prononcer aïe)
tout ceci m'écorche les yeux. Tout d'abord pour ceux qui l'ont fait : essayer de dériver une expression n'est pas correct tel quel. Il faut être conscient de la variable par rapport à laquelle on dérive. Et ce n'est pas le point de vu le plus clair si on ne comprend pas bien comment les choses se passent.
NB : Si jamais voux voyez écrit par ex [5x+3]' (notez bien la présence des crochets) il faut absolument avoir à l'esprit qu'il s'agit d'un abus de notation (assez horrible soit dit en passant) pour dire : dériver la fonction (x -> 5x+3), puis l'appliquer à x.

Mais je vais maintenant reprendre en collant aux interrogations ici-présentes :
1/ Parler de la dérivée de g(-x) n'est pas correct (sauf si on est parfaitement conscient de l'abus de langage que l'on fait), pour être correct on peut parler de l'expression dérivée de g(-x) par rapport à x, ou bien de la dérivée de h : x -> g(-x)
2/ La dérivée de h (cf notation ci-dessus) n'est en aucun cas la fonction x -> g'(-x), d'ailleurs vous avez montré (et correctement) que c'était x -> -g'(-x)

Donc dans le doute et sans abus de notation aucun, je reprends tout :
soit u : x -> -x  , g la fonction de l'énoncé et h : x -> g(-x)
1/ on constate que h(x) = g(u(x)), i.e. h = g o u
2/ On dérive h : h' = (g o u)' = u' . (g' o u)
On sait que u' : x -> -1
3/ On applique h' à x : h'(x) = u'(x).(g' o u)(x) = u'(x).(g'(u(x)) = (-1).g'(-x) = -g'(-x)
On a donc montré que la dérivée de h était : h' : x -> -g'(-x)

Donc si on cherche l'expression en fonction de x, de la dérivée par rapport à x de g(-x), c'est donc -g'(-x)
Et sans aucun abus de notation, il n'y a aucun problème.

Reprenons maintenant avec des abus de notation (en supposant que la variable par rapport à laquelle on travaille est toujours x)
[g(-x)]' = [-x]'.(g'(-x)) = -g'(-x), aucun problème

Il y a problème s'il on croit que [g(-x)]' = g'(-x) : ce qui reviendrait à dire, en termes de fonctions, que la dérivée de x -> g(-x) est x -> g'(-x),
Or
1/ ce n'est pas un résultat connu.
2/ il est faux, prendre comme contre-exemple g : x -> x

J'espère avoir été clair
++

PS : J'ai oublié de conclure sur la question initiale : on ne peut pas conclure, sans autre hypothèse sur g que g'(x) = -g'(-x)
L'hypothèse manquante est la parité de g (ie savoir que g vérifie : pour tout x, g(x) = g(-x)) car alors on a g = h puis g'=h' et donc g'(x) = -g'(-x))

Dernière modification par Barbichu (08-01-2008 17:55:35)

Bob

Invité

Re : Dérivée - Ts [Résolu]

Bonsoir, Bonsoir Barbichu,

Il va sans dire que je n'ai pas tout compris, mais j'ai imprimé ton explication et la retravaillerait demain aprés-midi à tête reposée. Mais déjà j'entrevoie ... des trucs ....  ;-)
C'est vrai qu'en fin de compte j'ai pas une idée ben précise de g'(-x) car déja j'ai un peu de mal à voir ce que veut dire g(-x) . Je conçois (heuresement!) g(2) et g(-2) mais g(-x) me chatouille le neurone...

je suis quand même un peu déçu que g'(-x) ne soit pas égal à -g(x) tout le temps  ;-))  m'enfin y a pas que des plaisirs dans la vie, y a aussi de grosses peines !

En fait ce que je ne comprends pas c'est quand tu dis : que la dérivée de :  h : x -> g(-x)
n'est en aucun cas la fonction x -> g'(-x) 
ok on a démontré (avec le brio qui nous caractérise) que c'est -g'(-x)  mais pourquoi (p.d.b.d.m) ce n'est pas g'(-x) .  c'est là que c'est pas clair pour moi et qu'il y a anguille sous roche...

Encore merci Barbichu, A+

Au plaisir de vous lire
Votre Bob dévoué

Barbichu

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Re : Dérivée - Ts [Résolu]

En fait ce que je ne comprends pas c'est quand tu dis : que la dérivée de :  h : x -> g(-x)
n'est en aucun cas la fonction x -> g'(-x) 
ok on a démontré (avec le brio qui nous caractérise) que c'est -g'(-x)  mais pourquoi (p.d.b.d.m) ce n'est pas g'(-x) .  c'est là que c'est pas clair pour moi et qu'il y a anguille sous roche...

Salut Bob,
(Je conserve mes notations)
Ecrire que la dérivée de :  h : x -> g(-x) est la fonction x -> g'(-x)  c'est pareil que d'écrire que (g o u)' = g' o u.
Et ceci n'est pas une formule démontrée ( et pour cause ;-) car elle est fausse )

Si ça te chargine encore, je te conseille de faire une étude d'exemples plus concrets.
Utilise g : x -> x*(x-2) , puis trace les courbes représentatrices de g et h et regarde ce que signifient les choses : g(x), g(-x) et h(x) ainsi que g'(x),
g'(-x) et h'(x)  (pour x=1 je crois que c'est pas mal)
Refais la même chose pour g : x -> x² (qui est paire !)

Tu comprendras peut-être mieux.

Courage
++

Dernière modification par Barbichu (09-01-2008 01:31:15)