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walterwhitecoocking

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Développement limité soucis avec petit o

Bonjour,

Pour le développement limité 1/ 1+x+x²à l'ordre 4 en 0, on pose u = x+x², pas de soucis on développe avec le développement de 1/1-x.
Le problème est pour le petit o(u⁴). On veut un DL à l'ordre 4 donc on veut avoir un petit o(x⁴), on veut donc "remplacer" le o(u⁴) par o(x⁴).
Peut-on justifier cela par (x+x²) est plus vite convergent vers 0 que x seul et que donc on peut remplacer o(x+x²)⁴ par o(x)⁴ ? Si non comment peut-on le justifier ?

Cordialement.

Glozi

Invité

Re : Développement limité soucis avec petit o

Bonjour,
Attention $x+x^2$ n'est pas plus vite convergent vers $0$ que $x$. (en fait ils convergent vers $0$ à la même vitesse au sens où ils sont équivalents en $0$). On écrit le développement "machin = bidule + $o(u^4)$". Cela signifie qu'il existe une fonction $h(u)$ telle que "machin = bidule + $h(u)$" avec en plus $h(u)/u^4 \to 0$ lorsque $u\to 0$.
Maintenant on se demande si $h(u) = o(x^4)$ autrement dit on se demande si $h(u)/x^4 \to 0$ lorsque $x\to 0$,
idée : écrire $h(u)/x^4 = h(u)/u^4 \times u^4/x^4$ puis...

Plus généralement, montrer que si $f(x)\underset{x\to a}{\sim} g(x)$, alors pour toute fonction $h$, on a $h(x) = \underset{x\to a}o(g(x)) \Leftrightarrow h = \underset{x\to a}{o}(f(x))$
La même conclusion a lieu si $f(x) = \Theta(g(x))$ (ie il existe $C_1,C_2>0$ de sorte que $C_1g(x) \leq f(x) \leq C_2 g(x)$ pour tout $x$ dans un voisinage de $a$).

Bonne journée

walterwhitecoocking

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Re : Développement limité soucis avec petit o

Bonjour,

D'accord j'y vois plus clair ! Merci beaucoup.