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l'anonyme

Invité

un doute sur un problème

Bonjour j'ai participé  à concours de math en belgique et j'avoue qu'un problème meme avec solution me laisse perplexe :

Sur la figure ci-contre, le petit cercle a un rayon quatre fois plus petit que le grand et les cercles sont tangents au point T  . Le petit cercle roule sans glisser autour du grand cercle jusqu'à revenir à son point de départ T  . Combien de fois a-t-il tourné sur lui-même ?

(je n'arrive pas  a importer l'image )
On m'a dit que la réponse était 5 mais ce ne serait pas 4 ?

Merci

Bernard-maths

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Re : un doute sur un problème

Bonjour !

Oui, bien sur, c'est 4. Si r est le rayon du petit cercle, alors le rayon R du grand cercle est R = 4r.

Calcule les circonférences des 2 cercles, et tu verras que le grand est 4 fois plus grand que le petit ...

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (15-03-2023 16:31:38)

L'anonyme

Invité

Re : un doute sur un problème

Est tu sur car j'ai demandé sur un autre forum et on m'a répondu ceci : Le cercle tourne 4 fois autour de lui même mais il tourne 1 fois de plus autour du grand cercle. Si le grand cercle serait un segment de même longueur que le diametre du cercle alors la reponse serait 4. Vous pourez le verifier en prenant 2 monnaies de même taille et tourner une autour de l'autre vous verrez qu'elle tourne 2 fois et pas une fois.

Merci , je me réjouirais de savoir que j'avais raison en disant 4

ps : j'aime les maths mais là ça me dépasse

Bernard-maths

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Re : un doute sur un problème

Re,

c'est exact, et ça m'a échappé ! Je vais faire une figure ...

l'anonyme

Invité

Re : un doute sur un problème

Merci

Je ne comprends pas vraiment  le raisonement   peut etre qu'une figure m'aiderait effectivement

En Belgique c'est une question pour les 1ere et 2 eme secondaires ( l'équivalent de 5-4eme  en France ) : ça me parait quand meme difficile

Black Jack

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Re : un doute sur un problème

Bonjour,

L'énoncé n'est pas, me semble-t-il, complet.

Si le grand cercle est fixe dans l'espace ... pour moi, la réponse est 4

MAIS, si il y a un coefficient d'adhérence suffisant entre les cercles (ou bien qu'ils soient munis de dents comme un engrenage) ...
Alors le grand cercle n'est pas fixe, il tourne ... et dans ce cas, la réponse est 5 ou 3 suivant que le petit cercle est intérieur ou extérieur au grand.

Dernière modification par Black Jack (15-03-2023 18:02:18)

l'anonyme

Invité

Re : un doute sur un problème

Bonjour

je ne sais pas comment importer des images sur le site

Mais je peux vous la décrire :   Un grand cercle avec un petit cercle tangent au grand en dessous

l'anonyme

Invité

Re : un doute sur un problème

Re si tu tiens a vraiment a voir l'image tu peux taper OMB sur google , arriver sur la page du site , aller sur  questionnaire olympiades , et mettre la demi finale mini , c'est la question 23
^^

Michel Coste

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Re : un doute sur un problème

Le petit cercle roule sans glisser (c'est dit dans l'énoncé). C'est bien 5.

Regarde ce qui se passe pour le point rouge fixé au petit cercle.

Si le petit cercle glissait, il ne ferait aucun tour sur lui-même. Je ne vois pas comment le 4 pourrait se produire !

Dernière modification par Michel Coste (15-03-2023 19:05:00)

l'anonyme

Invité

Re : un doute sur un problème

Bonjour

Mais alors comment le démontrer mathématiquement ?

Michel Coste

Membre Expert

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Re : un doute sur un problème

Soit [tex]\vec v[/tex] la vitesse du centre du petit cercle quand il tourne avec un mouvement de rotation uniforme autour du grand cercle. Vu qu'il se déplace sur un cercle de rayon 5, si T est le temps mis pour un tour, alors la norme de la vitesse est [tex]10\pi/T[/tex].
Vu que la vitesse instantanée du point de contact entre les deux cercles est nulle (ça roule sans glisser), sa vitesse par rapport au centre du centre du petit cercle (dans un repère translaté du repère fixe avec origine amenée au centre du petit cercle)  est [tex]-\vec v[/tex]. Pendant le temps [tex]T[/tex], le petit cercle fait donc [tex]\dfrac{T\times 10\pi/T}{2\pi}=5[/tex] tours sur lui-même.

Dernière modification par Michel Coste (15-03-2023 19:54:53)

Bernard-maths

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Re : un doute sur un problème

Bonsoir !

Voici deux images pour illustrer le mouvement du point T autour du grand cercle. En premier on voit que le petit cercle bleu va tourner en roulant sur le grand cercle. Son centre E va rester sur le cercle en pointillés, où se trouvent ses différentes positions. Par contre les 4 points T, F, G et H tournent autour de E ... Lorsque le petit cercle a roulé un tour, le point T se trouve en haut du grand cercle, et "on voit que" T a tourné d'un tour plus un quart de tour ! Soit 1.25 tour pour un quart du grand cercle. En continuant cela fera 4 fois 1.25 = 5 tours !

La courbe décrite par le point T est une épicycloïde, en vert, formé de 4 boucles extérieures au grand cercle.

A droite on voit différentes positions de T lorsque le petit cercle tourne.

Mathématiquement, il y a des équations paramétriques pour décrire le mouvement de rotation du petit cercle autour du grand. les voici :

x(t) = 10cos(t) - 2cos(5t), y(t) = 10sin(t) - 2sin(5t), t dans [0, 2π]. Les termes en cos(t) et sin(t) sont pour le centre E. Les termes en cos(5t) et sin(5t) sont pour le point T. Et le chiffre 5 indique le nombre de tours que fera le point T, et donc le petit cercle !

Voilà de quoi réfléchir ... Mais tu peux chercher sur le web "épicycloïde" ... y'en a !

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (15-03-2023 21:07:59)

l'anonyme

Invité

Re : un doute sur un problème

Merci

Je comprends pas tout mais ça va venir

Je viens d'apprendre que je passe en finale de mes olympiades donc je vais surement reposter des questions  les prochains jours  ^^

Bye

Bernard-maths

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Re : un doute sur un problème

Bonjour !

Voici un lien pour une animation !

https://www.bibmath.net/forums/viewtopi … 80#p103980