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Syracuse

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Groupes [Résolu]

Bonsoir :)

J'ai un DM sur les groupe et il y a un exercice que je ne comprends pas très bien. Pouvez-vous me dire si c'est juste ?
Voilà l'énoncé :

Soit G un groupe d'ordre 10. Montrer qu'il existe au moins un elt a d'ordre 5.

Supposons qu'il n'en existe pas alors il n'existe pas non plus de sous groupe de a d'ordre 1. Absurde car  = {e} est un sous groupe de a d'ordre 1.

Soit H = <a>. Mq si H' est un ss gpe de G alors [tex] H \cap H' = {e} [/tex]  ou  [tex]H \cap H' = H [/tex]

[tex] H'  \subset H \Leftrightarrow \forall x \in H', x \in H  \Leftrightarrow \exists k \in G / x = a^k \\
H'  \nsubseteqq H \Rightarrow x \in H' et x \in H \Leftrightarrow x = {e}[/tex]

En déduire que G possède un elt b d'ordre 2.

[tex]H \cap H' = {H,{e}} \Rightarrow \exists b \in G / |b| = 2[/tex]

Mq il existe un r dans [| 1;4 |]  tq bab = a^r
calculer (bab)^r et en deduire que r^2 congru à 1 mod 5

Par contre là je ne vois pas :/

Dernière modification par Syracuse (13-12-2007 19:41:38)

Barbichu

Invité

Re : Groupes [Résolu]

Bonsoir :)

Bonsoir

J'ai un DM sur les groupe et il y a un exercice que je ne comprends pas très bien. Pouvez-vous me dire si c'est juste ?
Voilà l'énoncé :

Soit G un groupe d'ordre 10. Montrer qu'il existe au moins un elt a d'ordre 5.

Supposons qu'il n'en existe pas alors il n'existe pas non plus de sous groupe de a d'ordre 1. Absurde car  = {e} est un sous groupe de a d'ordre 1.

Je ne te suis pas : si je remplace "5" par "42" dans ce qui précède, j'en conclue qu'il existe un élément d'ordre 42 ! Il y a donc au moins une imprécision dans ton raisonnement.
Pour répondre à cette question, le plus simple est d'utiliser (si tu as le droit) le théorème de Cauchy (ou bien un théorème de Sylow), qui te permet de conclure directement.
Sinon, voici une démonstration ad-hoc ;
Soit x un élément de G, d'après le Théorème de Lagrange, x est d'ordre divisant 10, soit 1, 2, 5 ou 10. (le seul élément d'ordre 1 étant le neutre e)
* S'il existe un élément d'ordre 5, on a gagné
* S'il existe un élément x d'ordre 10, alors x² est d'ordre 5 et on a gagné
* Si tous les éléments non neutres de G sont d'ordre 2, c'est là que ça se corse :
   - Déjà on montre que G est abélien : soient x et y dans G, distincts et non neutres,
on a (xy)(xy) = e, mais aussi (xy)(yx)=x(yy)x=xex=xx=e, d'où xy = yx.
   - Puis si x et y sont deux éléments distincts non neutres de G, alors xy est un élément non neutre de G distinct de x et y
   - on conclut en construisant une famille de générateurs de G et on s'apperçoit qu'on ne peut pas obtenir de groupe d'ordre 10, mais seulement d'ordre 2^k, avec k générateurs => Impossible

Soit H = <a>. Mq si H' est un ss gpe de G alors [tex] H \cap H' = {e} [/tex]  ou  [tex]H \cap H' = H [/tex]

[tex] ??? [/tex]

Je ne comprend pas ce que tu as écrit, mais ça ne me semble pas répondre à la question.
En général, ce genre de question se résoud en supposant le contraire de l'un pour démonter l'autre (ici, il est fort sympatique de supposer le contraire de [tex] H \cap H' = {e} [/tex] )

En déduire que G possède un elt b d'ordre 2.

[tex]H \cap H' = {H,{e}} \Rightarrow \exists b \in G / |b| = 2[/tex]

Là encore, je ne comprend pas ce que tu écris ...
Essaye de partir d'un élément x dans G\<a>. Pose H=<a>, H'=<x> et applique le théorème en discutant suivant les ordres possibles pour H'.

Mq il existe un r dans [| 1;4 |]  tq bab = a^r
calculer (bab)^r et en deduire que r^2 congru à 1 mod 5

Par contre là je ne vois pas :/

1/ On remarque que <a,b> (inclu dans G) contient au moins les 10 éléments distincts suivants : e, a, a², a³,a^4, b, ba, ba²,ba³, ba^4.
D'où G =  {e, a, a², a³,a^4, b, ba, ba²,ba³, ba^4}
Donc bab est l'un de ces 10 éléments.
Puis  * si bab = e => a = bb = e absurde
        * si bab = ba^k => b = a^(k-1) absurde à cause des ordres (b d'ordre 2, a^(k-1) d'ordre 1 ou 5)
        * Seule possibilité : bab = a^k pour k dans {1,2,3,4}
2/
* (bab)^r = a^(r^2) d'une part
* (bab)^r = b(a^r)b = b(bab)b = a d'autre part
donc a^(r^2) = a, je te laisse conclure.

Je me serais attendu à la question supplémentaire suivante :
Décrire le groupe G (à isomorphisme près) en discutant suivant des deux valeurs possibles pour r (mod 5).

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Barbichu

Barbichu

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Re : Groupes [Résolu]

A titre indicatif, il s'agit d'un DM posé à quel niveau ?