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Macario-Rat

Invité

Espace affine de matrices inversibles pour système UOV.

Bonjour,
Je cherche à construire une famille de matrices carrées $n\times n$ à coefficients dans un corps fini $\mathbb{F}$ à $q$ éléments, la plus grande possible,
$A_0, A_1, \ldots,  A_m$
telle que l'espace affine $A_0+\sum_{i=1}^m{ \lambda_i A_i }, (\lambda_i \in \mathbb{F})$
ne contienne que des matrices inversibles.
Je sais que $m$ peut être au moins égal à 1, il suffit de prendre $A_0 = Id$ et $A_1$ une matrice dont le polynôme caractéristique n'admet pas de racine dans $\mathbb{F}$.
J'ai essayé une famille
$A_0 = Id$
et $A_i = A^{q^{i-1}}$ pour $A$ une matrice dont le polynôme caractéristique n'admet pas de racine dans $\mathbb{F}$.
Expérimentalement pour cette famille en tirant $A$ au sort, le nombre de matrices non inversibles de l'espace affine est souvent nul, ou en général petit.
Est-ce que quelqu'un verrait comment trouver ou prouver dans le cas général qu'une telle famille avec $m$ au moins égal à $n$ existe ?
Merci!

Macario-Rat

Invité

Re : Espace affine de matrices inversibles pour système UOV.

PS.
J'ai une autre solution mais qui est peut-être satisfaisante :
Il suffit de choisir une famille $A_0=Id$ et les $A_i$ sont triangulaires (supérieur par exemple) à diagonale nulle.
Mais je préférerais que toute les matrices $A_i$ soient aussi inversibles.

Macario-Rat

Invité

Re : Espace affine de matrices inversibles pour système UOV.

Bonjour,
j'ai réussi à généraliser le cas particulier.
Il suffit de prendre des matrices diagonalisables dans une même base (à coefficients dans l'extension $\mathbb{F}_{q^n}$,
(leurs valeurs propres sont conjuguées) et dont les valeurs propres forment un espace affine ne contenant pas 0.
Merci!