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#1 31-05-2022 14:16:40
- Vincent62
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Analyse complexe Composante connexe
Bonjour,
J'ai une question concernant les composantes connexes.
On considère [tex]([a,b],\gamma)[/tex] un chemin. Comme [tex]im(\gamma)[/tex] est une partie compacte de [tex]\mathbb{C}[/tex], alors [tex]im(\gamma)[/tex] est un fermé de [tex]\mathbb{C}[/tex], et donc [tex]U=C\backslash im(\gamma)[/tex] est un ouvert de [tex]\mathbb{C}[/tex].
Soit [tex]r>0[/tex] tel que [tex]im(\gamma)\subset D(0,r)[/tex]. L'ensemble [tex]C\backslash D(0,r)[/tex] est un ouvert connexe de [tex]\mathbb{C}[/tex] contenu dans [tex]U[/tex].
Comment en déduit-on alors que [tex]U[/tex] admet une unique composante connexe non bornée ?
Merci !
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#2 31-05-2022 14:23:11
- Vincent62
- Membre
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- Messages : 314
Re : Analyse complexe Composante connexe
J'essaye de le comprendre ainsi : tous les éléments de [tex]C\backslash D(0,r)[/tex] sont connectés et donc appartiennent tous à une même composante de [tex]U[/tex]. De plus, les composantes connexes forment une partition de [tex]U[/tex]...
Voilà tout ce que je sais dire.
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#3 31-05-2022 19:53:01
- Fred
- Administrateur
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Re : Analyse complexe Composante connexe
Bonjour,
Notons $E=\mathbb C\backslash D(0,r)$. Soit $V$ une composante connexe non bornée de $U$. Alors il existe $z\in V\cap E$. Mais alors $V\cup E$ est connexe (comme réunion de deux connexes ayant un point commun) et est contenu dans $U$. Puisque $V$ est une composante connexe de $U$, donc est un connexe maximal contenu dans $U$, on a $V=V\cup E$. Ainsi, toutes les autres composantes connexes de $U$ ne rencontrent pas $E$ et donc $U$ admet une unique composante connexe non bornée.
F.
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#4 01-06-2022 07:20:32
- Vincent62
- Membre
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- Messages : 314
Re : Analyse complexe Composante connexe
Bonjour Fred, et merci pour les explications.
Je bloque cependant sur à peu près tout, car j'ai de sérieuses lacunes sur les connexes.
Tout d'abord, j'ai été chercher ce que l'on appelle une composante connexe bornée.
Par définition, pour une partie A du plan [tex]\mathbb{R^2}[/tex], on appelle trou de A toute composante connexe bornée de [tex]\mathbb{R^2}\backslash A[/tex].
Première difficulté pour moi : un trou dans [tex]A[/tex] est dans [tex]A[/tex], alors pourquoi la définition porte sur [tex]\mathbb{R^2}\backslash A[/tex], qui n'est pas dans [tex]A[/tex] ?
Ensuite, comme [tex]im(\gamma)\subset D(0,r)[/tex], alors [tex]E=C\backslash D(0,r) \subset C\backslash im(\gamma)=U[/tex], et donc [tex]E\cap V\subset U[/tex].
Comme [tex]U[/tex] est non vide, il existe donc [tex]z\in V\cap E[/tex].
Est-ce que jusque-là je ne racontes pas de bêtises ?
Ca va prendre du temps pour comprendre chaque détail, mais je vais y arriver ^^
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#7 01-06-2022 09:52:21
- Fred
- Administrateur
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- Messages : 7 349
Re : Analyse complexe Composante connexe
et donc [tex]E\cap V\subset U[/tex].
Comme [tex]U[/tex] est non vide, il existe donc [tex]z\in V\cap E[/tex].
Non, l'inclusion va dans le mauvais sens....
Mais si $V$ est non bornée, par définition d'une partie non bornée, il y a des éléments dans $V$ de module aussi grand que l'on veut.
F.
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#8 01-06-2022 10:05:11
- Tof
- Membre
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- Messages : 52
Re : Analyse complexe Composante connexe
Bonjour,
Ensuite, comme [tex]im(\gamma)\subset D(0,r)[/tex], alors [tex]E=C\backslash D(0,r) \subset C\backslash im(\gamma)=U[/tex], et donc [tex]E\cap V\subset U[/tex].
Comme [tex]U[/tex] est non vide, il existe donc [tex]z\in V\cap E[/tex].Est-ce que jusque-là je ne racontes pas de bêtises ?
Il me semble que si, à cet endroit, vos arguments ne prouvent rien.
Plus simplement si aucun élément de V n'était dans E, V serait inclus dans le petit disque, donc borné, contradictoire.
Tof
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#9 01-06-2022 10:14:37
- Tof
- Membre
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- Messages : 52
Re : Analyse complexe Composante connexe
Bonjour,
Même si c'est quasi-évident, la preuve de Fred montrant effectivement l'unicité, il reste à voir tout de même qu'il existe bien aussi dans U une partie P connexe non bornée. La composante connexe de U qui contient P non bornée est elle-même non bornée, d'où son existence...
Tof
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