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halas

Invité

variation de fonction

Bonjour

SVP J ai besoin d aide en ce qui concerne les variations de f(x)=((-2x-7)^0,5)/x

Sans recourir a la dérivation. Methode de comparaison des images

En considérant f(a)-f(b) j ai trouve que son signe est celui de (b-a)[(2ab+7(a+b)]

Intuitivement la valeur qui annule a la fois (b-a) ET (2ab+7(a+b)) est -7 , cette valeur subdivise le domaine de def de f en 2 intervalles sur lesquels f est strictement décroissante sur l un et strictement croissante sur l’autre.C est un raisonnement que jai fait tout seul et j arrive pas a le justifier ou le généraliser !!!!!.

ET puis le signe de 2ab+7(a+b) lorsque a<b<-7 et lorsque -7<a<b<-7/2  j’arrive pas a le déterminer .

Bonne journee

Zebulor

Membre expert

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Messages : 2 220

Re : variation de fonction

Bonjour,
$f(x)=\dfrac {\sqrt{-2x-7}}{x}$
un exercice peut être un peu raide pour un niveau lycée ? ... ton  intuition est excellente parce que je ne vois pas comment tu as trouvé ce nombre -7.
Tu peux déjà trouver le domaine de définition de f pour dégrossir un tout petit peu  le sujet. Et faire une étude de limite en moins l'infini par exemple

Et pour commencer :

En considérant f(a)-f(b) j ai trouve que son signe est celui de (b-a)[(2ab+7(a+b)]

Je suis d'accord.

On peut supposer que $f$ est décroissante sur un intervalle I. Alors pour tout couple $(a;b)$ de I tel que $a<b$ on a $f(a)>fb)$ soit :
$b<\dfrac {-7a}{2a+7}$, d'où $a<\dfrac {-7a}{2a+7}$ ou encore $a<-7$.

Mais à ce stade on ne peut pas conclure sur la décroissance stricte de $f$ sur ]$-\infty$;-7] parce qu'il existe deux cas possibles :

1)  $a<-7<b$
2)  $a<b<-7$^

La condition $a<-7$ sur la décroissance stricte de $f$ sur ]$-\infty$;-7] est donc nécessaire, mais pas suffisante

Si on se place dans le second cas qui nous intéresse : étant donné $a<-7$ fixé, on pose $h>0$ tel que $b=a+h<-7$.

Il vient $2ab+7(a+b)=2a(a+h)+7(2a+h)=2a(a+h+7)+7h$.

Or $2a<0$ et $a+h+7<0$ d'où : $2ab+7(a+b)>0$

Conclusion : pour tout couple $(a,b)$ tel que $a<b<-7$, $f(a)>fb)$ et $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty;-7]$

Et sur l'intervalle restant  $]-7;\dfrac {-7}{2}]$ :
on a vu que pour tout couple $(a;b)$ de I tel que $a<b$ l'inégalité $f(a)>fb)$ nécessite la condition $a<-7$.
Or lorsque $-7<a<b<\dfrac {-7}{2}$, cette condition n'est pas vérifiée. De plus $f$ n est pas constante (voir "Pour finir 2)") sur $[-7;\dfrac {-7}{2}]$ donc $f$ ne peut être que croissante (même strictement) sur ce dernier  intervalle.

Pour finir :
1) pour trouver cette valeur de -7 tu peux voir que pour $a$ et $b$ dans $]-\infty$;-7/2] l'équation $f(a)=f(b)$ implique $b=\dfrac {-7a}{2a+7}$ OU $a=b$.

Dans le cas d'un extremum absolu : $f(a)=f(b)$ implique $a=b$ ET  $b=\dfrac {-7a}{2a+7}$.  soit $a=b=x_e$=$\dfrac {-7x_e}{2x_e+7}=-7$ où $x_e$ est l'abscisse de l'extremum absolu de $f$.

2) Autre chose : sur l'intervalle $[-7;\dfrac {-7}{2}]$, d'après ce qui précède il n existe pas de couple (a,b) (a différent de b) tels que $f(a)=f(b)$, prouvant que $f$ ne peut être constante sur tout ou partie de cet intervalle. Parce que dès lors que $a$ est dans $[-7;\dfrac {-7}{2}]$, $b$ est dans ]$-\infty$;-7] et vice et versa : dès lors $f$ est nécessairement une bijection croissante de $[-7;\dfrac {-7}{2}]$ vers $[f(-7);0]$

3)le OU du 1) est :
_exclusif si $a \ne -7$ :$a$ et $b$ sont égaux a gauche de $-7$ , ou égaux a droite de $-7$ , ou différents de part et d'autre de $-7$ tels que $(a;b=\dfrac {-7a}{2a+7})$ satisfont l'équation $f(a)=f(b)$
_inclusif si $a=-7$ et équivaut alors à ET : seul le couple $(a=-7;b=\dfrac {-7a}{2a+7}=-7)$ satisfait $f(a)=f(b)$

Un exercice finalement beaucoup plus subtil et riche que je ne l'aurais cru au départ...

Dernière modification par Zebulor (27-04-2022 14:01:59)